Limites

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LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

Página 272 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
2 El valor de la función f (x) = x + 4x – 45 para x = 5 no se puede obtener directa2x – 10 mente porque el denominador se hace cero. Lo obtendremos por aproximaciones sucesivas, dando a x los valores 4; 4,9; 4,99; …

I

Comprueba que: f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995

II

Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); … ¿Te parece razonable afirmar que, cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Lo expresamos así: lím f (x) = 7
x→5

I

Si f (x) =

x2

+ 4x – 45 , entonces: 2x - 10

f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995
x→5

lím f (x) = 7
2 lím x + 6x – 27 . 2x – 6 x→3

I I

Calcula, análogamente,f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995
x→3

lím f (x) = 6

Problema 1 Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si es continua o discontinua:  2 a) y =  x + 3  5 – x2  — c) y =  √x + 3  2/x x 1 a) No, pues no existe f (–1). b) lím – f (x) = lím + f (x) = f (2) = –2. Sí es continua en x = 2.
x→2 x→2c) lím – f (x) = 3 ≠ lím + f (x) = 4. No es continua en x = 1.
x→1 x→1

PARA RESOLVER
20 Calcula los siguientes límites: a) lím
x → 0 x2
2 b) lím 2x + 3x x x→0 2 d) lím h – 7h 4h h→0

4x – 2x

3 2 c) lím 3h – 2h h h→0

☛ Saca factor común y simplifica cada fracción. a) lím c) lím
x→0

4x = –2 x (x – 2)

b) lím d) lím

x→0

x (2x + 3) =3 x h (h – 7) 7 =– 4h 4

h2 (3h – 2) = 0h h→0

h→0

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

18

21

Resuelve los siguientes límites:
2 a) lím x – 1 x→1 x – 1

b) lím d) lím f ) lím

x3 + 1 x → –1 x 2 + x x2 – x – 2 x–2 x→2

c) lím

x+2 x → –2 x 2 – 4
x → –3 x 2

e) lím a) lím

x+3 + 4x + 3

x4 – 1 x → 1 x2 – 1

x→1

(x + 1) (x – 1) =2 (x – 1)

b) lím

2 x3 + 1 3 = lím (x + 1) (x– x + 1) = = –3 2 + x –1 x (x + 1) x → –1 x x → –1

c) lím

(x + 2) 1 =– (x + 2) (x – 2) 4 x → –2 (x + 3) 1 =– (x + 3) (x + 1) 2 x → –3

d) lím f ) lím

(x + 1) (x – 2) =3 (x – 2) x→2

e) lím

(x – 1) (x 3 + x 2 + x + 1) = 2 (x – 1) (x + 1) x→1

22

Resuelve los siguientes límites: a) lím c) lím a) 3 3x 2 x → + ∞ (x – 1)2 b) lím 1 – (x – 2)2
x → –∞

1–x x → + ∞ (2x + 1)2 b) –∞c) 0

d) lím d) +∞

x3 + 1 5x x → –∞

23

Calcula el límite cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞ de las siguientes funciones y representa las ramas que obtengas: a) f (x) = –1 x2
2 c) f (x) = x x–1

b) f (x) = 10x – x 3 d) f (x) = 1 – 12x 2 3x 2

a) lím

x → +∞

f (x) = 0;

x → –∞

lím

f (x) = 0

b) lím

x → +∞

f (x) = –∞;

x → –∞

lím

f (x) = +∞

c) lím

x →+∞

f (x) = +∞;

x → –∞

lím

f (x) = –∞

d) lím

x → +∞

f (x) = –4;

x → –∞

lím

f (x) = –4

–4

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

19

24

Calcula el límite de la función f (x) = lím f (x) = lím 3 4

x2 x2 + x
x→0

en x = 3, x = 0 y x = –1.

x→3

lím f (x) = 0 lím f (x) = –∞

x → –1–

f (x) = +∞

x → –1+

25

Calculalos límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su denominador: a) f (x) = c) f (x) = 3x 2x + 4 x 2 – 2x x2 – 4 f (x) = +∞; x–1 x (x – 2)
x → 0+

b) f (x) = d) f (t) =

x–1 x 2 – 2x t 3 – 2t 2 t2

a) lím

x → –2–

x → –2+

lím

f (x) = –∞

b) f (x) =
x → 0–

lím f (x) = –∞;

lím f (x) = +∞;

x → 2–

lím f (x) = – ∞;

x → 2+

lím f (x) = +∞

c) f (x)=

x (x – 2) (x – 2) (x + 2) 2 1 = ; lím f (x) = +∞; lím f (x) = –∞ 4 2 x → –2– x → –2+

x→2

lím f (x) =

d) f (t) =

t 2 (t – 2) ; lím f (t ) = –2 t2 t→0

26

Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva con respecto a ellas: a) f (x) = c) f (x) = e) f (x) = 2x x–3 1 2–x x2 3x –1 b) f (x) = d) f (x) = f ) f (x) = x–1 x+3 x2 1 +9

–1 (x + 2)2

a) Asíntota...