Limites

C´lculo Diferencial e Integral - L´ a ımites. Objetivos a cubrir
• L´ ımites laterales. C´lculo de l´ a ımites.

Prof. Farith J. Brice˜ o N. n C´digo : MAT-CDI.8 o
Ejercicios

1. Determine, si existen:

a) f (c);

b) lim f (x);
x→c−

c) lim f (x);
x→c+

d) lim f (x).
x→c

1. f (x) =

    

3x + 2 si x < 2 x3 si x > 2

; c=2

2. f (x) =

   1 − x4 si x < −1    3       x+1 si x = −1 si x > −1

; c = −1

3. f (x) =

      

cos x |sen x − 1| 9 − x2 x3 − 1

si x < 0 ; c=0 si x ≥ 0

5. f (x) =

  √  2x + 5 si x < 2     3x 2x − 2 si x ≥ 2

; c=2

7. f (x) =

   3x + 1 si x < 1   x3 si x > 1

; c=1

  √  3 37 − x3     4. f (x) = −3       sen (πx)    3 |x − 2|     6. f (x) = 0     √  2x2 + 8    1 + x2 si     8. f (x) = si  −3      1 − x2 si

si −3 ≤ x < 4 si x = 4 si x > 4 si x < −2 si x = −2 si x > −2 x0 ; c=0 ; c = −2 ; c=4

2. Calcular los siguientes l´ ımites 1. 5. 9.
x→4

lim (x − 1)3 lim x − cos x √ 1−x 1 − cos x sen x

2. 6. 10. 14. 18. 22.

x→−1

lim

x2 − 4x − 5 3x − 2

3. 7. 11. 15.

x→2

lim

√

1 x+ √ x

4. 8.

2x2 − 5x→2 3 − 2x lim lim

x→0

x→0

lim

13. lim 17.

x4 − b4 x→b x3 − b3 lim

8 − x3 x→2 x2 − 2x √ 3 x−1 21. lim √ x→1 x−1 1 − x2 lim √ x→1 1 − x4

x2 − x + 5 x→3 x−1 √ √ 2+h− 2 lim h→0 h √ √ x+h− x lim h→0 h √ 3 1+x−1 lim x→0 x √ t+1−2 lim t→3 t2 − 9 lim lim m3 − 8 m2 − 4 1

x→2

lim lim

2x2 − 3x − 2 x2 − x − 2 sen π x − 1 2 sen2 (πx)

x→1

x2 − 5x + 6 x→2 x−2 √ √ 3 t − 3 t0 12.lim t→t0 t − t0 16. 20. x2 + 3x + 4 x→−1 2x2 − x + 5 lim lim

(x + h)2 − x2 h→0 h √ −x + 1 − 1 19. lim √ x→0 −x + 4 − 2 √ √ 3 x+3− 33 23. lim x→0 x lim 27. lim x2 − c2 x→c x2 + 2cx + c2

25.

26.

m→2

2x2 − 3x + 1 x→1 x−1 √ 7x2 + 2 − 3 24. lim √ x→−1 3 + 2x + x √ x2 − 6x + 9 28. lim x→3 x−3

x3 + 27 29. lim x→−3 x + 3 33.

30. lim

x→2

x4 − 16 x3 − 8 34. lim

31. lim

x→ 32

8x3 − 27 4x2 − 9

√ 2− x−3 32. lim x→7 x2 − 49 x x+5
2

x2 − 16 x→4 x−4 √ √ x2 + 3x + 1 − x + 1 x2 + x + a − a2 tan x − sec x + 1 √ 36. lim 37. lim 38. lim √ x→−a x→0 x→0 x+a tan x 3x2 + 4 − x + 9 √ 3 5t3 + 8t2 4 − x2 3x + 5 − 2 t4 − 256 √ 40. lim 4 41. lim 39. lim 2 42. lim √ 3 2+7 t→0 3t − 16t2 x→2 3 − t→4 t − 16 x→1 3 10x + 17 − 3 5x √ √ √ √ √ 1+x− 1−x x2 + 3 − 3x + 1 x2 + 3x + 9 − 3√ √ 43. lim 44. lim √ 45. lim x→0 x→1 x→0 x 4−x−2 5x + 4 − 2x2 + 7 35. lim x2 − 3 3x − 1 − x 7−x 46. lim 4 x→3 1− x+1 cos x − sen2 x − 1 49. lim x→0 cos x − cos2 x √ 52. 55.
x→2

√ √ x + 2 − 3x − 2 √ lim √ x→2 4x + 1 − 5x − 1

7 sen3 x + 8 sen2 x x→0 cos x − 1

1 1 − 47. lim x + 1 3x − 1 3x x→1 x− x+2 √ x2 + a2 − a 50. lim √ x→0 x2 + b2 − b 1 1 − x x0 x − x0 57.

1− 48. lim
x→0

3x2 + 4x2 + 4 x2 √ 4+ x−2 √ x √ a

a, b > 0

51.

x→0+

lim

lim

√ x+1− 5−x 2x2 − 9x + 10 2−x √ x− 2 56. lim

53. 1−

x→x0

lim

54. lim lim

x→1

a + 2 (x − 1) − x−1

√

x→2

lim √

x→0

1 − x2 x2

5x2 − 5x + 5x3 + x4 − 6 x→−2 4x2 − 11x + x3 − 30

3. Calcular los siguientes l´ ımites cuando existan, utilizando los l´ ımites laterales cuando sea necesario.   x−1 √ si x > 1  x |x + 2| x−1 1. lim 2. lim 3. lim h (x) ; h (x) = x→−2 x + 2 x→1  x→0+ |x|   2x − 2 si x < 1    2x3 si x < 1 x x−3 6. lim g (x) ; g (x) = 4. lim 5. lim x→1 x→0 |x|  √ x→3+  (x − 3)2 x + 3 si x ≥ 1 4. Demuestre los siguientes l´ ımites 1. 4. 7. 10. 13. lim (3x + 5) = 5 lim 4x2 + 2 = 2 lim lim √ 3−x= √ 3 2. 5. 8. 11. 14. lim (2x − 4) = −2 lim √ √ 3 2x − 4 = −2 3. 6. 9. 12. limx2 − 1 = 0

x→0

x→1

x→1

x→0

x→2

x→1

√ lim 2 x − 4 = −2 lim √ 3 x−1+1 =0

x→0

x→7

lim

x+1=2

x→0

1 1 = x→0 x + 2 2
x→1

x−1 =0 x→1 x + 3 lim 3 + 2x 8 = 9 x→1/2 5 − x lim

lim √

1 1 = 2 5−x

2x − 1 5 = x→3 3x 9 √ 1 x−2 15. lim = x→4 x − 4 4 lim

2

Respuestas: Ejercicios
1.1.a. Indefinido; 1.3.b. 1; 1.5.b. 3; 1.7.b. 3; 2.3. 2.12.
3 2...