Limites

Limites

a<x<b incluimos el valor de a y b

a≤x≤b no incluimos los valores de a y b

Valor absoluto
Modulo de un número real es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea positivo (+) o negativo (-). Por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
Ejemplo:
|a|= a, si a≥0
a, si a<0
Intervalo abierto
(a,b)= ]a,b[ ={xER/a<x<b}

ab
Intervalo cerrado
[a,b]= {xER|a≤x≤b}

a b
Especiales
[a,a]= {a}
(a,a)= 0
Intervalo semiabierto
[a,b)= [a,b[= {xER/a≤x<b}

a b
(a,b]= ]a,b]={xER|a<x≤b}

a b
Ecuaciones simples
3x-4>5-12x
15x-4>515x>9
x>9/15
x>3/5 Sol {xER|x>3/5}

3/5 ∞
Valor Absoluto
1 |x∙y|= |x|∙|y|
2 |x/y|= |x|/|y| con y ≠ 0
3 |x+y|= |x|+|y|
4 |x-y|= |x|-|y|
5 |x|>a ↔ x<-a

-a a
6 |x|<a ↔ x>-aᴧ x<a

-a a
7 |x|=a ↔ x= -avx=a

Dominio
Dominio:Son todos los números reales
Contra dominio: Es de 0 al infinito

Funciones compuestas
Es una función cuando una depende de la otra
(F∙g)(x)= f(g(x) g∙f(x)= G(f(x)
F(g(x))= =2x+3 g(f(x))= 2x+3

Limites al Infinito
limx→∞3+x-3x3+x +33+x +3= 3+x+3x3+x+3 = 13+0+3= 123

limx→∞x²+x-x. x²+x+xx²+x+x= x²+x²-x.x x²=
x²+x-x²x²+x+x= 11+1x+1= limx→∞11+1x+1= limx→∞11+1= 12limx→∞2x-1x+31x1x=2xx-1xxx+31x=2-01+0=21=2

limx→∞5x2x+7=5x2x+71x1x=5x2xxx+7x=5x1=∞

limx→∞2x10-110x11-9=2x10x11-1x1110x11x11-9x11=2x-010-0=010

∞+c=∞, c≠-∞
∞•∞=∞
-∞-c=-∞, c≠∞
-∞•-∞=∞
∞+∞=∞
-∞-∞=-∞
∞•c=∞, c>0
-∞•∞=-∞
∞c>0, c≠∞
∞c= ∞c<0, c≠∞
c±∞=0, c≠±∞
±∞±∞=indeterminada
∞-∞= indeterminada
limx→∞2x4-x3-8x=2x⁴x⁴-x³x⁴-8xx⁴ = x⁴2x⁴x⁴-x³x⁴-8xx⁴=2.1= 2

limx→∞3x²+65-2x=3x²+6x²5x-2xx=3x²+6x²0-(2)(1)=(3)(1)+o-2=3-2

Derivada
Recta tangente: una recta que toca un punto de una curva y es paralela a la curva en ese punto. Tiene la misma pendiente que el punto que toca.

f(x)= 15-2x²

P=(x, f(x)) m= y2-y1x2-x1 m=fx2-f(x)1x2-x1 m=fx-13x-1
P= (1,13) m=15-2x²+3x-1=2-2xx-1limx→12-2x²x-1= 4

La cantidad de agua dentro de un recipiente a los (t) minutos esta dado por la función v(t), determinar:
1. Si el volumen de agua esta aumentando o disminuyendo al minuto t=1
2. Si el volumen de agua esta aumentando o disminuyendo al minuto t=5
3. Indica si el volumen del agua dentro del recipiente cambia de manera mas rápidamente al minuto t=1 o t=5
4. Determinarsi el volumen del agua dentro del tanque no cambia en algún momento. Indique en que momento.
vt=2t²-16t+35
v1=21
v5=5
v0=35
v't=4t-16
v'1=-12
v'5=4
v't=0=v'4

Velocidad promedio=distancia de A a B tiempo de A a B
Velocidad instantánea=lim∆t→0∆s∆t= limt→0fa+t-f(a)t

La posición de un objeto después de t horas esta dad por la función f(t) entonces a las 10 horas el objeto se mueve a laderecha o izquierda, habrá un momento en el que el objeto deje de moverse.
ft=tt+1
f't=1(t+1)²
f'10=1121= Positivo y no deja de moverse.
f(x)±g(x)'= f'(x)±g'(x) Propiedades
cf(x)'= cf(x)

fx=c f'x=o Formulas
fx=xn f'x=nxn-1

Ejercicios
1.- fx=15x100-3x12+5x-46
f'x=1500x99-36x11+5

2.-gt=2t6+7t-6g't=12t5-42t7

3.- y=8z3-a3z5+z-23
y'=8z3-13z-5+z-23
y'=24z2-13-5z-6+1
y'=24z2+53z6+1
4.-x+93x7-23x2= x12+9x73-2x-25
12x-12+633x43+45x-75= 12x+213x4+455x7

5.- hx= xπ-x2
h'x= πxπ-1-2x2-1

6.- y= 3x²2x-x²
y'=x232x-x²
y'=2x53-x83
y'=103x23-83x53



Es f(x) una función en aumento, decremento o sin cambio en x=-2

fx= 2x3+300x³+4
f-2=2-23+300-23+2=-49.5...