Limites

TECSUP

Cálculo Diferencial e Integral

UNIDAD I

LÍMITES Y CONTINUIDAD
1.

LÍMITES INFINITOS
Si una función f(x) crece o decrece ilimitadamente cuando la variable
independiente x tiende a x0, se dice que la función tiene un límite infinito en x =
x0, lo cual se representa en una de las siguientes formas:
1.

lim f(x)   , si f(x)

x  x
0

crece indefinidamente cuando x tiende a x0 por laderecha.
2.

lim f(x)   , si f(x)


x  x0

crece indefinidamente cuando x tiende a x0 por la izquierda.
3.

lim f(x)   ,si f(x)

x  x
0

decrece indefinidamente cuando x tiende a x0 por la derecha.
4.

lim f(x)   , si f(x)


x  x0

decrece indefinidamente cuando x tiende a x0 por la izquierda.
Teorema
Si n es cualquier entero positivo, entonces:
a.

b.

lim

x 0 

1
xn

 

 sin es impar

n
 si n es par
x 0 x
1

lim

Teorema
Si a 
a.

y c es una constante, lim f(x)  0 y lim g(x)  c, c  0 , entonces:
x a

x a

g(x)
  .
x a f(x)

si c > 0 y f(x)  0 a través de valores positivos de f(x), lim

1

Cálculo Diferencial e Integral

TECSUP

g(x)
  .
x a f(x)

b.

si c > 0 y f(x)  0 a través de valores negativos de f(x), lim

c.

si c < 0 y f(x)  0 através de valores positivos de f(x),. lim

d.

si c < 0 y f(x)  0 a través de valores negativos de f(x), lim

g(x)
 
x a f(x)
g(x)
  .
x a f(x)

Ejercicios
Evaluar los siguientes límites.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

lim

x  2

lim

x  0

x2
x2  4

3  x2
x

3x
2x  2
x 1
lim

lim

2x

x
x  4 2  2

lim

5  3x

2
x 4 x  3x  4

x2  2x  3
x3
x 3
lim

2

TECSUP

2.

CálculoDiferencial e Integral

LÍMITES AL INFINITO
Sea una función f(x), si cuando la variable independiente x tiende a  o  la
función se aproxima a un valor real L, se dice que L es el límite al infinito de la
función f(x), esto es:

lim f(x)  L

x 

lim f(x)  L

x 

Teorema
Si n es cualquier entero positivo y k es una constante arbitraria diferente de cero,
entonces:
a.

b.

lim

k

x  xlim

n

k

x  x

n

0

0

Ejercicios

1.

2.

3.

lim

(x  1)2

2
x  x  1

lim

x 

lim

1000x
x2  1

2x2  x  3

4.

3x  1
x  2x  3

5.

 x2  1 x 2  10 


lim 
x  1 
x   x  2

6.

3
x  x  8x  5

3

lim

lim

x 

x 

(x  a)(x  b)



Cálculo Diferencial e Integral

3.

TECSUP

ASÍNTOTAS
Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curvaindefinidamente.
Obtener y graficar las asíntotas, tanto horizontales como verticales, es de gran
ayuda para esbozar la grafica de una función.
3.1.

ASÍNTOTA VERTICAL
Una asíntota vertical es una recta paralela al eje Y. La recta x = a es una
asíntota vertical de la grafica de una función f(x) si satisface por lo menos
una de las siguientes condiciones:

1.

2.

3.

4.

3.2.

lim f(x)  

x  a

limf(x)  

x  a

lim f(x)  

x  a

lim f(x)  

x  a

ASÍNTOTA HORIZONTAL
Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje X. La recta y = b es una
asíntota horizontal de la grafica de una función f(x) si cumple al menos una
de las siguientes condiciones:

1.
2.

lim f(x)  b

x 

lim f(x)  b

x 

4

TECSUP

4.

Cálculo Diferencial e Integral

CONTINUIDAD
Una función f(x)es continua en x = a si y solo si se cumplen las tres condiciones
siguientes:

1.

f(a) existe.

2. lim f(x) existe.
x a

3. lim f(x)  f(a) .
x a

Una función que no es continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho
punto, presentándose un “hueco” o un “salto” en el grafico de la función en el
punto donde es discontinua. La discontinuidad es removible cuando f(a) no existe
pero limf(x) si existe, o cuando f(a)  lim f(x) . En estos casos la
x a

x a

discontinuidad desaparece cuando se redefine f(a) de tal manera que
f(a)  lim f(x) .
x a

La discontinuidad se llama esencial o no removible cuando no es posible
deshacerse de dicha discontinuidad y esto sucede básicamente cuando lim f(x)
x a

no existe.
TEOREMAS
1. La función polinómica es continua en todo punto.
2. Una...