Limites

EJERCICIOS PROPUESTOS - LIMITES LATERALES
1) Si fx= x2x4-x Si x<1Si 1< <4Si x>4
Hallar
i) limx→1f(x)
ii) limx→4f(x)
SOLUCIÓN:
i)
limx→1+f(x)= limx→1+[x]=1
limx→1-f(x)= limx→1-x2=1
∃ limx→1f(x)
ii)
limx→4+fx= limx→4+4-x=0
limx→4-f(x)= limx→4-x=4
∄ limx→4f(x)
2) Si fx= 6x-x22x2-x-36 Si x<2 Si x>2Si x=2
Calcular limx→2f(x)
SOLUCIÓN:limx→2+fx= limx→2+2x2-x-3=3
limx→2-fx= limx→2-6x-x2=8
∄ limx→2f(x)
3) Calcular
limx→0fx Si fx= x2 x Si x>0 Si x<0
SOLUCIÓN:
limx→0+f(x)= limx→0+(x2)=0
limx→0-f(x)= limx→0-(x)=0
∃ limx→0f(x)
4) Si fx= bx2+ab 2(x2+b) 12 Si x≥0 Si x<0
Hallar a y b para que el:
limx→0fx=f0 y f(1)

SOLUCIÓN:
limx→0-2x2+b-b=2b-b
limx→0+bx2+ab=ab
ab=2b-b
ab+b=2b…(I)f1=b1 2+ab
1=b+ab…(II)

Reemplazando:
ab+b=2b
1=2b
b=14
1=14+a4
4=1+a
a=3
5) Si fx= x22 Si x ≤1Si x>1
Hallar
limx→1f(x)
SOLUCIÓN:
limx→1+fx= limx→1+2=2
limx→1-f(x)= limx→1-x2=1
∄ limx→1f(x)
6) Si fx= x-51-x-4x2-12x+35x-5 Si x≥5 Si x<5
Hallar
limx→5f(x)
SOLUCIÓN:
limx→5+x-5(1+x-41-x+4
limx→5+x-5(1+x-4-(x-5)
limx→5+(1+x-4-1= 2-1=-2limx→5-x2-12x+35x-5
limx→5-x-5(x-7)(x-5)= -2
∃ limx→5+f(x)
7) Si fx= 1-x21|x-3| Si x ≤1Si 1<x ≤2Si x>2
Calcular
limx→1fx
limx→2f(x)
SOLUCIÓN:
i)
limx→1-fx= limx→1-[1-x2]=0
limx→1+fx= limx→1+[1]=1
∄ limx→1fx
ii)
limx→2+fx= limx→2+[|x-3|]=1
limx→2-fx= limx→2-[1]=1
∃ limx→2fx
8) Calcular
limx→3fx= x3-2x2-5x+6x-3x+1-1x+2 Si x<3 Si x ≥3
SOLUCIÓN:limx→3+fx= limx→3+x+1-1x+2 = 15
limx→3-fx= limx→3-x3-2x2-5x+6x-3
limx→3-x-3(x2+x-2)x-3=10
∄ limx→3f(x)

9) Si fx= 2xx-1x-1
Calcular
limx→1f(x)
SOLUCIÓN:
limx→1+2x|x-1|x-1= 2x(x-1)x-1=2
limx→1-2x|x-1|x-1= -2x(x-1)x-1=-2
∄ limx→1f(x)
10) Si fx= x+1-xx2+1
Calcular
limx→1f(x)
SOLUCIÓN:
limx→1+x+|1-x|x2+1= x-1+xx2+1=12
limx→1-x+|1-x|x2+1= limx→1-x+1-xx2+1= 12
∃limx→1f(x)
11) Calcular
limx→1fx Si fx=x3-x2+3x-3x-1
SOLUCIÓN:
limx→1+x3-x2+3x-3x-1= x-1(x2+3)x-1=4

limx→1-x-1(x2+3)x-1=4
∃ limx→1f(x)
12) Si fx= x-xx
Calcular
limx→0+f(x)
SOLUCIÓN:
limx→0+0-xx= limx→0+-xx=-1

13) Si fx= 3x+x7x-5x
Calcular
limx→0f(x)
SOLUCIÓN:
limx→0+3x+x7x-5x= 4x2x=2
limx→0-3x-x7x+5x=2x12x=16
∄ limx→0f(x)
14) Si fx=ax2+bx+12ax-bx+1 Si x≤1Si 1<x ≤2Si x >2
Hallar los valores “a” y “b” para que exista los límites de f(x) en x=1 y x=2
SOLUCIÓN:
limx→1+2ax-b=2a-b
limx→1-ax2+bx+1=a+b+1
2a-b=a+b+1
2a-b-a-b=1
a-2b=1…(I)
limx→2+x+1=3
limx→2-2ax-b=4a-b
4a-b=3…II
a-2b=1
4a-b=3
a-2b=1
-8a+2b=-6
-7a=-5
a=57
57-2b=1
-2b=1-57
b=-17

15) Si fx= x3-x2-4x+4x+2ax2-2bx+1x2-13x+22x-2Si x<-2Si-2 ≤x ≤2Si x>2
Hallar a y b de tal manera que existe los límites de f(x) en x=2 y x=-2
SOLUCIÓN:
limx→2+x2-13x+22x-2= x-2(x-11)x-2=-9
limx→2-ax2-2bx+1=4a-4b+1
4a-4b+1=-9
4a-4b=-10
a-b=-104…(I)
limx→-2+ax2-2bx+1=4a+4b+1
limx→-2-x3-x2-4x+4x+2=x+2(x2-3x+2)x+2=12
4a-4b+1=12
4a+4b=11
a+b=114
4a-4b=-10
4a+4b=11
8a=1
a=18
4a+4b=11
418+4b=11
4b-11=124b=212
b=218
16) Si fx=x3+3x2-9x-27x+3ax2-2bx+1x2-22x+57x-3 Si x<-3Si-3≤x≤3Si x>3
Hallar a y b de tal manera que exista los límites de f(x) en x=-3 y x=3

SOLUCIÓN:
limx→-3+ax2-2bx+1=9a+6b+1
limx→-3-x3+3x2-9x-27x+3=x+3(x2-9)x+3=0
9a+6b+1=0
9a+6b=-1…(I)
limx→3+x2-22x+57x-3=x-3(x-19)x-3=-16
limx→3-ax2-2bx+1=9a-6b+1
9a-6b+1=-16
9a-6b=-17…II
Reemplazando:9a+6b=-1
9a-6b=-17
18a=-18
a=-1
-9+6b=-1
6b=8
b=43
17) Si fx=xn-1+2nx-1x2-12x2-x+3x-x x<1 x>1
Calcular el valor de n(n ∈ N) de tal manera que limx→1f(x) exista.
SOLUCIÓN:
limx→1+2x2-x+3x-x=2x2-x+32x2+x+3x+xx-xx+x2x2+x+3
limx→1+ 4x4-x-3(x+xx2-x2x2+x+3=x-14x3+4x2+4x+3xx-12x2+x+3=4+4+4+32+2=154
limx→1-xn-1+2n(x-1)x2-1=x-1xn+1+xn+2+…+1n-1+2n(x-1)x-1(x+1)=152...