Limites

LÍMITES INFINITOS
LÍMITES AL INFINITO
CÁLCULO DE UNA VARIABLE
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

LÍMITES INIFINITOS

Formación Básica

Cálculo de una variable



Objetivos

1. Interpreta en forma geométrica límites infinitos.
2. Resuelve límites infinitos.

3. Resuelve situaciones problemáticas vinculadas a
límites infinitos.

3

Formación Básica

Cálculo de una variable



Idea geométrica de unlímite infinito

Consideremos la función
+∞

1
f ( x) 
x

, cuya grafica se muestra
De la gráfica se observa:

1
lim+ = +∞
𝑥→0 𝑥
Esto indica que la función
crece indefinidamente.

IZQUIERDA-

DERECHA +

1
lim− = −∞
𝑥→0 𝑥
Esto indica que la función
decrece indefinidamente.

−∞
Formación Básica

4

Cálculo de una variable



Idea geométrica de un límite infinito

Consideremos la función f ( x)  lnx , cuya grafica se muestra
De la gráfica se observa:

lim+ ln 𝑥 = −∞

𝑥→0

𝐷𝐸𝑅𝐸𝐶𝐻𝐴

Si el límite de 𝑓 en 𝑥0 es ∞, diremos
que 𝑓 no tiene un límite en 𝑥0 .
Debe quedar claro que ∞ no es un
número real, es simplemente un
símbolo usado para denotar que
𝑓(𝑥) excede cualquier número dado
para 𝑥 suficientemente próximo a
𝑥0 .

5

Formación Básica

Cálculo de una variable



Definición de límitesinfinitos

Sea 𝑓 es una función definida en un intervalo
abierto alrededor del punto 𝑥0
excepto
posiblemente en 𝑥0 .
Decimos que 𝑓(𝑥) tiende a +∞ conforme 𝑥
tiende a 𝑥0 y se escribe:
lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑥0

si para cualquier número 𝑀 > 0, existe un 𝛿 > 0
tal que para todo 𝑥 alrededor del punto 𝑥0 se
cumple que 𝑓 𝑥 > 𝑀 .
Decimos que 𝑓(𝑥) tiende a −∞ conforme 𝑥
tiende a 𝑥0 y se escribe:
lim 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→𝑥0si para cualquier número 𝐵 < 0, existe un 𝛿 > 0 tal
que para todo 𝑥 alrededor del punto 𝑥0 se cumple
que 𝑓 𝑥 < 𝐵 .
Formación Básica

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Cálculo de una variable

Aritmética del infinito:
1) ∞ + ∞ = ∞
2) + ∞ ± 𝑁 = +∞;

𝑠𝑖 𝑁 ∈ ℝ

3) ± 𝑁 − ∞ = −∞;

𝑠𝑖 𝑁 ∈ ℝ

4) (+∞)𝑁 =

+∞; 𝑠𝑖 𝑁 > 0
−∞; 𝑠𝑖 𝑁 < 0

−∞; 𝑠𝑖 𝑁 > 0
5) (−∞)𝑁 =
+∞; 𝑠𝑖 𝑁 < 0

7

Formación Básica

Cálculo de una variable

LÍMITES ALINIFINITO

Formación Básica

Cálculo de una variable



Idea geométrica de un límite al infinito

Consideremos la función 𝑓 , 𝑥 ∈ 0, +∞ , cuya grafica se muestra
De la gráfica se observa:

lim 𝑓(𝑥) = 1

𝑥→+∞

Sea 𝑓 una función definida en
𝑎; +∞ .
Se dice que lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 si cuando
𝑥→+∞

𝑓

𝑥 crece indefinidamente (sin cota), los
valores de 𝑓 se acercan al valor 𝐿 .

𝐿

lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 significa que paratodo

𝑥→+∞
𝑴

𝜀 > 0 existe un número 𝑀 tan grande
que, para todo 𝑥, si 𝑥 > 𝑀 entonces
𝑓(𝑥) tiende a 𝐿.
9

Formación Básica

Cálculo de una variable



Idea geométrica de un límite al infinito

Consideremos la función 𝑓 , 𝑥 ∈ −∞, −1 , cuya grafica se muestra
De la gráfica se observa:

lim 𝑓(𝑥) = 2

𝑥→−∞
𝐿
𝑓

Sea 𝑓 una función definida en
−∞; 𝑎 .
Se dice que lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 si cuando
𝑥→−∞

𝑵

𝑥 decreceindefinidamente (sin cota),
los valores de 𝑓 se acercan al valor 𝐿.
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 significa que para todo

𝑥→−∞

𝜀 > 0 existe un número 𝑁 < 0 muy
pequeño que, para todo 𝑥, si 𝑥 < 𝑁
entonces 𝑓(𝑥) tiende a 𝐿.
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Formación Básica

Cálculo de una variable



Idea geométrica de un límite al infinito
y
y=M

lim 𝑓(𝑥) = 𝑀

𝑥→−∞

𝒇
x

y=L

lim 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→+∞

Teorema
𝑛 = +∞ ; 𝑛 ∈ ℕ.
lim
𝑥
1. 𝑥→+∞
𝑛 = +∞; 𝑛 es par
lim
𝑥
2. 𝑥→−∞
𝑛 = −∞ ; 𝑛 es impar
lim
𝑥
3. 𝑥→−∞
𝐶
𝑚
∈ ℚ+ .
4. lim 𝑚/𝑛 = 0 ;
𝑥→+∞ 𝑥
𝑛
Formación Básica

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Cálculo de una variable

Limites al infinito
𝟏
𝐥𝐢𝐦 𝟏 +
𝒙→∞
𝒙

𝒙

𝟏
𝐥𝐢𝐦 𝟏 +
𝒙→∞
𝒇(𝒙)

=𝒆

𝒇(𝒙)

=𝒆

Calcule los siguientes límites
3

2𝑥 − 𝑥 + 1
1. lim
𝑥→∞
2𝑥 3 + 3𝑥

𝑥 2 −1

4𝑥 2

−3
2. lim
𝑥→∞ 4𝑥 2 + 3

2𝑥 2 −1

12

Formación Básica

Cálculo de una variable

Limites al infinitoCálculo de límites al infinito para funciones racionales
Si 𝑓 𝑥 =

𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)

es una función racional, donde 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥)

son dos

polinomios de grados 𝑛 y 𝑚, respectivamente, tenemos:

an / bn , si : n  m
an x  an 1 x   a0 
lim
  0,
si : n  m
m
m

1
x  b x  b
  b0 
m
m 1 x
si : n  m
 ,
n

n 1

 an / bm , si : n  m
an x  an 1 x   a0 
lim
  0,
si : n  m
m
m

1
x...