Limites

Limites y continuidad

Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno.
El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables,pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto , como lo muestra la figura 1.

Figura 1.

Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de variables es análogo. Primerodefinimos el análogo a un intervalo abierto de .

Definición (Disco de radio y centro P)

Un disco abierto, o simplemente un disco, de radio y centro en es el conjunto de todos los puntos ) tales que su distancia a es menor que , es decir



Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un disco cerrado

Definición (Límite de una función)Sea una función de dos variables definida en el disco abierto , excepto posiblemente en . Entonces


si y sólo si para cada existe un correspondiente tal que




Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera , el valor de está entre y , como se ilustra en la figura


Figura 2.
Como ya mencionamos, cuando escribimos que entendemosque el punto se aproxima al punto en cualquier dirección. Si el valor de



no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a , entonces el límite no existe. El siguiente ejemplo muestra esta situación.

Ejemplo 1
Compruebe que el siguiente límite no existe



Solución
El dominio de esta función es . Para comprobar que le límite no existe,consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento al punto .
Sobre el eje ( ) cada punto es de la forma y el límite en esta dirección es:



Sobre la trayectoria cada punto es de la forma y el límite en esta dirección es



Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en existen puntos en los cuales vale y . Luego no puede tener límite cuando .Observación : en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes.Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite existe.Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de ladefinición misma, como muestra en siguiente ejemplo.

Ejemplo 2
Compruebe que



Solución
La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite de cero a través de muchas trayectorias esto no demuestre que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe.
Sea , queremos encontrar un tal que



es decir



comoPor consiguiente, si elegimos , entonces



Por consiguiente, por la definición



Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos y cocientes, que las funciones de una sola variable, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
Calcule los siguientes límites

1.
2.
3.

Solución
1.Evaluamos directamente



2. Para este límite, factorizamos el denominador



3. Para este límite racionalizamos el denominador




Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de límites. El siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el cálculo de un límite.

Ejemplo 4
Use coordenadas polares para comprobar que



Solución...