LimitesCoordsPolares Gaceta

“Limites72” — 2004/6/2 — 14:51 — page 405 — #1

LA GACETA

DE LA

´ gs. 405–434
RSME, Vol. 7.2 (2004), Pa

405

L´ımites utilizando coordenadas polares
por
´
Juan Bosco Ferreiro Darriba y Oscar
L´
opez Pouso

Se demuestran varios resultados en relaci´
on con el l´ımite cuando (x, y)
tiende a (a, b) de una funci´
on real de dos variables reales f (x, y). Se presta
especial atenci´
on al uso de lascoordenadas polares para calcular dicho
l´ımite. Los resultados se acompa˜
nan con ejemplos.
´
1. INTRODUCCION

Este art´ıculo est´a dedicado al estudio del l´ımite de una funci´on real de dos
variables reales f (x, y). Adem´as de la relaci´on con los conceptos de continuidad
y diferenciabilidad, y en consecuencia con el concepto de plano tangente a una
superficie en R3 , hay una conexi´on entreeste tema y la derivada de una funci´on
compleja de una variable compleja f (z). En el u
´ ltimo caso, dado z 0 ∈ C, la
derivada (en el sentido complejo) de f en z 0 se define como sigue [3]:
f (z0 + h) − f (z0 )
,
h
h→0

f (z0 ) = lim

(1)

h∈C

en caso de que el l´ımite exista en C. Si h 1 y h2 son, respectivamente, la parte
real e imaginaria de h, el l´ımite en (1) puede calcularse calculandolos l´ımites,
cuando (h1 , h2 ) tiende a (0, 0), de las partes real e imaginaria del cociente
f (z0 +h)−f (z0 )
, que son dos l´ımites que entran en el marco de nuestro estudio.
h
Para tener una idea de lo que estamos hablando, consideremos el siguiente
ejemplo estudiado en [5]:
f (x, y) =

sen(x2 + y 2 )
.
x2 + y 2

(2)

Los autores de [5] afirman que, puesto que se sabe por c´alculo elementalque
sen s
= 1,
s→0 s
lim

(3)

entonces 1 es el candidato a ser el l´ımite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0),
y despu´es demuestran esa conjetura utilizando la definici´
on ´epsilon–delta de
l´ımite. Entre otras cosas, los resultados que recogemos en este art´ıculo nos
permiten afirmar que, ciertamente, los l´ımites en (2) y en (3) son equivalentes,

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L´IMITES UTILIZANDO

406

COORDENADAS POLARES

con lo cual la u
´ ltima parte del razonamiento es innecesaria. Para otras situaciones que pueden ser tratadas con los resultados del art´ıculo remitimos al
lector a los ejemplos de las secciones 2, 3 y 4.
El lector debe estar familiarizado con la definici´on ´epsilon–delta de l´ımite,
as´ı como con los conceptos de punto de acumulaci´on,conjunto abierto en R 2
y conjunto compacto en R.
En la secci´on 2 se explican algunos hechos relacionados con el uso de l´ımites
sobre subconjuntos y l´ımites iterados; el primer tema, aunque sobradamente
conocido, puede ayudar al lector a entender ciertos puntos clave cuando se
estudia el l´ımite usando coordenadas polares; el segundo tema ha sido incluido
por motivos de completitud. La secci´on 3est´a dedicada a otras formas de
resolver el problema, y en ella enunciamos el teorema de compactaci´on de
variables, que puede usarse, por ejemplo, para resolver el l´ımite (2). En la
secci´on 4 explicamos con la ayuda de ejemplos concretos de qu´e manera el
cambio a coordenadas polares puede ser de gran ayuda en el c´alculo de l´ımites.
En la secci´on 5 enunciamos y demostramos los resultadosmatem´aticos.
La utilidad de este trabajo reside, a juicio de los autores, en la escritura
detallada de los resultados recogidos en el Teorema 1, Teorema 2 y sus corolarios, y Teorema 5. Todos ellos, excepto quiz´a el u
´ ltimo, ser´an de una u otra
forma familiares para muchos lectores, especialmente para aquellos profesores
que hayan tenido que explicar en sus cursos esta materia. La condici´on (b)en el
Teorema 2 suele aparecer solamente como una condici´on suficiente, aunque es
f´acil demostrar que tambi´en es necesaria. En ninguna referencia bibliogr´afica
hemos visto un resultado an´alogo al Teorema 5, quiz´a porque no reduce el
n´
umero de variables; es sin embargo u
´ til en ciertas ocasiones, como se muestra en los ejemplos. Por u
´ ltimo, aconsejamos al lector que escriba todos...