Limitesdefunciones 100524160732 Phpapp02

LÍMITES DE FUNCIONES
•Límites infinitos
•Límites en el infinito
(conceptos previos)

Límites en el infinito

Problema 1:
El coste de fabricación de x unidades de un determinado producto,
viene dado (en euros) por la función:

a) Determina la función de coste unitario
b)¿A cuánto sale cada unidad, si se fabrican 200 unidades?.
¿Y si se fabricaran 2000?
c) ¿A cuánto tiende el coste unitario si elnúmero de
unidades fabricadas es cada vez mayor?

SOLUCIÓN:
a) El coste unitario C(x), se obtiene:

b) Si x = 200, el coste unitario será:

Si x = 2000, es fácil comprobar que el coste unitario es de 2,1 €

= 15,6 €

c) Si x se hace cada vez mayor, el coste unitario tiende a…
Para hacerte una idea, lo mejor es que construyas una tabla de
valores

X
0
1
10
100
1000
10000
100000

C(x)
¿?

Lagráfica (una hipérbola) nos da una idea de lo que ocurre

Problema 2:
Suponiendo que los costes de producción de un número x de periódicos
vienen dados por la función:
C (x) = 12.000 + 0.24 x (en euros), se pide:
a) ¿A cuánto asciende el coste por cada periódico?

b) ¿A qué tiende ese coste cuando la tirada del periódico es de 10.000, 50.000
y 100.000 ejemplares respectivamente?.

c) ¿Cuál sería elprecio mínimo que se alcanzaría en el supuesto de que
pudiéramos hacer una tirada de tantos periódicos como quisiéramos?

Problema 3:
La altura media (en metros) de una
determinada especie de árboles, viene dada
por la función:

donde “t” representa los años transcurridos
desde su plantación.
a) ¿Qué altura media tendrá uno de esos
árboles al cabo de 5 años?
b) ¿Cuál sería la máxima altura quepodrían alcanzar suponiendo que vivieran
eternamente?

La diapositivas que siguen son, en algunos casos, adaptadas a partir de la
presentación cuyo enlace aparece más abajo, trabajo que me ha sido de
gran utilidad y agradezco sinceramente
http://beta.upc.edu.pe/matematica/cdiad/Recursos/Clases/1.4%20Limites%20infinitos.ppt

LÍMITES DE FUNCIONES
Límites en el
infinito

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Analicemos …
En unaempresa el número de clientes a lo largo de los años

evoluciona con arreglo a la siguiente gráfica


clientes



f

¿ 50 ?




¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?




























tiempo
(años)

 

Entonces:









 
 
¿ t
?

lim f (t ) 50
t  

Esto es un límite enel infinito, que nos indica a qué valor
se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
11

Límites en el infinito
Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim f ( x)  L

x 

Análogamente, si los valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim f ( x)  M
x 

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Porejemplo….
y = f (x)
y=M

lim f ( x)  M

y
M

x 

x

L

y=L

lim f ( x)  L

x 

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Límite en el infinito para funciones polinómicas
f ( x)  an x n  an 1 x n 1  K  a1 x  a0

lim f ( x)  lim  an x n
x 
x 

Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el
infinito, se halla el límite del término de mayor grado
(término dominante).
Ejemplos:


2 3
59
 x x 
a) xlim

6
 3

( x 4  x 2  x  5)
b) lim
x  
14

Interrogante . . . . .
Sabemos que para n > 0, lim x n  , ¿cuál es el valor
x  
de los siguientes límites?
1

lim
n
x   x
1

lim
n
x   x

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Límite en el infinito para funciones racionales
an x n  an 1 x n 1  K  a1 x  a0
f ( x) 
bm x m  bm 1 x m1  K  b1 x  b0

Resolución:
Divida el numerador y denominador entre el xelevado
al mayor grado del denominador y calcule el límite de la
nueva expresión:
 an x n  an 1 x n 1  K  a1 x  a0


m
x
lim f ( x)  lim 

m 1
x 
x  b x m  b
 K  b1 x  b0
m 1 x
 m


xm

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Para funciones racionales:

an x n  an 1 x n 1  K  a1 x  a0
f ( x) 
bm x m  bm1 x m 1  K  b1 x  b0

Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el...