Limitis de una funcion

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

CONTENIDO:

1. LIMITE DE UNA FUNCIÓN 1
1.1. CONCEPTO DE LÍMITE 1
1.2. DEFINICIÓN DE LÍMITE 2
1.3. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 3
1.3.1. Límite de una constante 3
1.3.2. Límite de una función Potencial 4
1.3.3. Límite de una función Polinómica 4
1.3.4. Límite de una suma de funciones 4
1.3.5. Límite de un producto de funciones 4
1.3.6.Límite de un cociente de funciones 5
1.3.7. Límite de una potencia 5
1.3.8. Límite de una raíz 5
1.3.9. Límite de las funciones trigonométricas 6
1.3.10. Funciones que son iguales en todo número excepto en a 6
1.3.11. Teorema de estricción 9
1.3.12. Funciones que son iguales en todo número excepto en a 10
EJERCICIOS 1.3 10
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 1.3 10
1.4.LÍMITES LATERALES 11
EJERCICIOS 1.4 12
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 1.4 12
1.5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 13
EJERCICIOS 1.5 15
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 1.5 15
1.6. LIMITES INFINITOS 16
EJERCICIOS 1.6 17
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 1.6 18
1.7. LIMITES AL INFINITO 18
EJERCICIOS 1.7 19
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 1.7 20
1.8. NÚMERO DE EULER (e) 20EJERCICIOS 1.8 22
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 1.8 22

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Antes de comenzar, es importante aclarar el concepto de “tender”, ya que se usará permanentemente en el transcurso de ésta unidad. Cuando preguntamos, por ejemplo, ¿a qué valor tiende la función?, nos referimos a qué valor se aproxima la función (es importante aclarar que hablamos de "acercarse", pero no a"llegar" a ese valor).

El concepto de límite es quizá el concepto intuitivo más usado por el común de las personas; por ejemplo, cuando usted va a una tienda y le solicita al vendedor una libra de arroz, el vendedor coloca una bolsa en la balanza y echa en ella tanto arroz como a su parecer corresponde a una libra. Sin embargo, quizás usted se habrá preguntado ¿será que si se agregan o sequitan dos o tres granos de arroz, la medida del peso que indica la balanza cambiará?, su respuesta a esta pregunta habrá sido NO, por lo tanto, ¿cuánto fue entonces lo que nos entrego el tendero?, la respuesta a ésta pregunta es del tenor de los límites, El tendero no nos entrego una libra de arroz, nos entrego una cantidad que se aproxima tanto a una libra como la graduación y/o precisión de labalanza se lo permitan, o mejor, el tendero nos entregó una cantidad de arroz que “tiende” a una libra.

1 CONCEPTO DE LÍMITE

Como introducción al concepto de límite, vamos a deducir el valor al que tiende la función [pic] cuando x se aproxima a 1. Por nuestros conocimientos de funciones, podemos afirmar que la función no está definida en x = 1, sin embargo, podemos aproximarnos“infinitamente” a 1, tanto por la izquierda como por la derecha, y deducir el valor al que tiende la función, tal como aparece en la siguiente tabla:

|Si x se aproxima a 1 por la izquierda, se obtiene: |
|x |0 |0,5 |0,9 |0,99 |0,999 |0,9999 |0,99999 |
|f(x) |4,00000|2,66667 |2,10526 |2,01005 |2,00100 |2,00010 |2,00001 |
|Si x se aproxima a 1 por la derecha, se obtiene: |
|x |2 |1,5 |1,1 |1,01 |1,001 |1,0001 |1,00001 |
|f(x) |1,33333 |1,60000 |1,90476 |1,99005 |1,99900|1,99990 |1,99999 |

De la tabla anterior podemos concluir que:
Si x se aproxima a 1 por la izquierda, el valor de f(x) se aproxima a 2. Y si x se aproxima a 1 por la derecha, el valor de f(x) se aproxima a 2. Luego, en éste caso podemos afirmar que si x se aproxima por cualquier lado a 1, el valor de f(x) se aproxima o tiende a 2 y escribimos:

[pic]...