Limtes calculo 1

C APÍTULO

3
Límite de una función

1

3.2 Álgebra de límites
Es bastante claro intuitivamente lo siguiente:
Si existen lím f .x/ y lím g.x/ entonces:
x !x0

x !x0

lím Œf .x/ C g.x/ D lím f .x/ C lím g.x/.

x !x0

x !x0

x !x0

lím Œf .x/

g .x/ D lím f .x/

x !x0

lím Œf .x/

g .x/ D lím f .x/

x !x0

x !x0

x !x0

x !x0

x !x0

lím g.x/.

límg.x/.

lím Œf .x/=g.x/ D lím f .x/= lím g.x/ si lím g.x/ ¤ 0.

x !x0

x !x0

x !x0

x !x0

Esto es, que si f .x/ y también g.x/ están tan cerca de ˛ y ˇ , respectivamente, como queramos para
valores de x próximos a x0 , entonces:
f .x/ C g.x/

está tan próximo a

˛ Cˇ

f .x/ g .x/
f .x/ g .x/
f .x/=g.x/

"
"
"

como queramos con tal de que x esté suficientemente próximo ax0 ;
idem.
idem.
idem.

˛ˇ
˛ˇ
˛=ˇ

Este hecho se puede extender para sumas y productos de más de dos funciones.
En el caso del cociente ˇ tiene que ser ¤ 0. Si ˇ D 0, la afirmación no tiene sentido.
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I

Ejemplo 3.2.1 Considerando que
lím f .x/ D 4;

lím g.x/ D 2

x! 3

x! 3

&

lím h.x/ D 0;

x!3

calcular los límites que existan de la siguiente lista. Si el límite no existe argumentar por qué.
1. lím Œf .x/ C g.x/;

4. lím

x! 3

2. lím
x!

x!

g.x/
;
3 h.x/

f .x/
;
3 g.x/
5. lím

3. lím Œg.x/h.x/;

x! 3

x! 3

h.x/
.
g.x/ f .x/

H
1. lím Œf .x/ C g.x/ D lím f .x/ C lím g.x/ D 4 C . 2/ D 4
x! 3

x! 3

x! 3

lím f .x/
4
f .x/
D x! 3
D
D3 g.x/
lím g.x/
2

2. lím
x!

2 D 2.

2.

x! 3

3. lím Œg.x/h.x/ D Œ lím g.x/Œ lím h.x/ D . 2/.0/ D 0.
x! 3

x! 3

g.x/ “
D
3 h.x/

2
0

4. lím
x!

”

x! 3

g.x/
no existe como veremos más adelante.
3 h.x/

62 R . lím
x!

lím h.x/
lím h.x/
h.x/
x! 3
x! 3
D
D
D
3 g.x/
f .x/
lím Œg.x/ f .x/
lím g.x/
lím f .x/

5. lím
x!

x! 3

x! 3

x!3

0
0
D
D 0.
24
6

Tambié es cierto que si lím g.x/ D L y L ¤ 0, entonces “cerca" de x0 las imágenes g.x/ tienen
el mismo signo que L.
y

x !x0

y

g.x/ mismo signo que L

x0

x cerca de x0
x

¨©

y D g.x/

g.x/ mismo signo que L
x
¢£

x0

2

x cerca de x0



¤¥

L0

y D g.x/

3.2 Álgebra de límites

3

Uno de los casos más simples en elcalculo de límites es el de una función constante f .x/ D
en el que para cualquier x0 2 R ,
lím f .x/ D lím

x !x0

D:

x !x0

Ejemplo 3.2.2 Tenemos que:
H
1. lím 5 D 5;

2. lím 8 D 8;

x !4

3. lím 2 D

x! 7

x !3

2.

Entonces:
lím Œˇ

x !x0

f .x/ D ˇ

En particular de ˇ D

lím f .x/.

x !x0

1, tenemos lím Œ f .x/ D
x !x0

lím f .x/.

x !x0

Otro casomuy simple es el de la función identidad f .x/ D x ; aquí evidentemente
lím f .x/ D lím x D x0 para cualquier x0 2 R.
x !x0

y

y D f .x/ D x



x0



x !x0

x


x0

Y en consecuencia:
Si g.x/ D mx C n, entonces lím g.x/ D mx0 C n para cualquier x0 2 R.
x !x0

n
Si h.x/ D x n con n 2 N , entonces lím h.x/ D x0 , para cualquier x0 2 R.
x !x0

Además:
Si lím f .x/D ˛ , entonces lím Œf .x/n D ˛ n , para cualquier n 2 N .
x !x0

x !x0

Dos resultados muy importantes son:
Si f .x/ es una función polinomial y además x0 2 R , entonces lím f .x/ D f .x0 /.
x !x0

Si f .x/ es una función racional y además x0 2 Df , entonces lím f .x/ D f .x0 /.
x !x0

Ejemplo 3.2.3 Dada la función f .x/ D 2x 3 C 3x 2

4x

5, calcular los límites siguientes:
34

Cálculo Diferencial e Integral I
1. lím f .x/;

4. lím f .x/;

2. lím f .x/;

5. lím f .x/;

3. lím f .x/;

6. lím f .x/.

x! 1

1
x! 2

3
2

x!

x !2

2
3

x!

x !0

H Por ser f una función polinomial:
1. lím f .x/ D f . 1/ D 2. 1/3 C 3. 1/2

4 . 1/

2. lím f .x/ D f .2/ D 2.2/3 C 3.2/2

4.2/

5 D 16 C 12

3. lím f .x/ D f .0/ D 2.0/3 C 3.0/2...