Lineal

Forma canónica de Jordan



En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en sumadirecta de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo. Dicha forma canónica consistirá en que la matriz estará formada por "bloques de Jordan" en la diagonal y bloques de ceros fuera de ella.La forma diagonal de una matriz es, como hemos visto, una matriz mucho más sencilla que la matriz de partida, que la representa con éxito en cierto tipo de cálculos (por ejemplo, el cálculo depotencias de la matriz). Desafortunadamente, no siempre existe la forma diagonal de una matriz: este es el caso, por ejemplo, de matrices con coeficientes R cuyo número de valores propios es inferior alorden de la matriz (porque el polinomio característico no tiene todas sus raíces en R).
En este apartado demostraremos que si una matriz de orden n tiene n valores propios, repetidos o no, siempreexiste una forma más sencilla que la propia matriz, llamada forma canónica de Jordan, que coincide con la matriz diagonal si la matriz de partida es diagonalizable.
Una matriz cuadrada de orden nrepresenta, como sabemos un endomorfismo f: V → V. el espacio vectorial V (R) tiene dimensión n por lo que puede identificarse, bajo un isomorfismo, con Rn , como en apartados anteriores, haremos uso de estehecho a lo largo de esta sección.
Para llegar a la forma canónica de una matriz, comencemos con algunas definiciones.

Definición 5.39 del libro de Álgebra lineal: sus aplicaciones en economía,ingenierías y otras ciencias por Julia García Cabello
Se llama bloque de Jordan a toda matriz de la forma

Se llama matriz de Jordan a toda matriz construida con bloques de Jordan, dispuestossegún la diagonal principal.




Ya se ha visto que las matrices de nxn con n vectores característicos linealmente independientes se pueden expresar en una forma especialmente sencilla por medio...