Lineal

Matriz asociada a una transformaci ́n lineal
o
respecto a un par de bases
Objetivos. Definir la matriz asociada a una transformaci ́n lineal respecto a un par de
obases y estudiar la representaci ́n matricial de transformaciones lineales que act ́an en
o
u
espacios vectoriales de dimensi ́n finita.
o
Requisitos. Transformaci ́nlineal, vector columna de coordenadas de un vector respecto
o
a una base, multiplicaci ́n de matrices, multiplicaci ́n de una matriz por un vector.
o
o
1. Definici ́n(matriz asociada a una transformaci ́n lineal respecto a un par
o
o
de bases). Sean V, W espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre un campo F, sea
A = (a1 , . . . ,an ) una base de V , sea B = (b1 , . . . , bm ) una base de W , y sea T ∈ L(V, W ).
La matriz de T en bases B y A (o matriz asociada con T respecto a las bases B y A),denotada por TB,A , se define como la matriz cuyas columnas son columnas de coordenadas
de los vectores T (a1 ), . . . , T (an ) en base B:
TB,A =
(T (a1 ))B . . . (T (an ))B.
En otras palabras, si
m
T (aj ) =
ti,j bi ,
i=1
entonces
TB,A = ti,j
m,n
.
i,j=1
Por definici ́n TB,A ∈ Mm,n (F), donde m = dim(W ), n = dim(V ). As ́ que eln ́mero de
o
ı
u
renglones de la matriz TB,A es igual a la dimensi ́n del contradominio de T , y el n ́mero
o
u
de columnas es igual a la dimensi ́n del dominio de T.
o
2. Nota. En el caso si W = V y B = A, en vez de TB,A se escribe TA .
3. Ejemplo. Sea A = (a1 , a2 , a3 ) una base de V y sea F = (b1 , b2 ) una base de W .Supongamos que
T (a1 ) = 2b1 − 3b2 ,
T (a2 ) = 5b2 ,
Entonces
TB,A =
2 0 −1
−3 5
4
T (a3 ) = −b1 + 4b2 .
.
Matriz asociada a una transformaci ́n lineal, p ́gina 1 de 5
o
a