Lineal

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Leccion

4

Integrales de línea
4.1.

Integral de línea de un campo escalar

Definición. Sea f : Ω → R un campo escalar continuo, con Ω ⊆ Rn , y sea γ : [a, b] → Ω
un camino regular a trozos. La integral de línea de f a lo largo de γ es, por definición:
b

f dl =

f γ(t)

γ (t) dt

a

γ

Existencia de la integral. Está asegurada, ya que el integrando es una función acotada
en [a, b] y continuasalvo, a lo sumo, en un número finito de puntos para los que ni siquiera
concretamos el valor que toma en ellos dicha función. De hecho, si hacemos una partición
a = t0 < t1 < . . . < tn = b del intervalo [a, b] de forma que, para k = 1, 2, . . . , n, la restricción
de γ al subintervalo [tk−1 ,tk ] sea de clase C1 , podemos escribir
n

f dl =

∑

tk

f γ(t)

γ (t) dt,

k=1 tk−1

γ

obteniendo unasuma finita de integrales de funciones continuas. Resaltamos que al campo
escalar f sólo se le exige estar definido y ser continuo sobre la curva Γ recorrida por el camino
de integración. Habitualmente f tendrá propiedades de regularidad mucho mejores, siendo por
ejemplo diferenciable en un abierto Ω que contenga a la curva Γ.
Casos particulares. En el caso n = 3, tendremos
b

f dl =

f x(t),y(t), z(t) x (t)2 + y (t)2 + z (t)2

1/2

dt

a

γ

donde
x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)

(a

t

b)

son las ecuaciones paramétricas del camino γ. En el caso n = 2 tendremos solamente:
b

f dl =
γ

f x(t), y(t) x (t)2 + y (t)2

a

22

1/2

dt

4. Integrales de línea

23

Ejemplo. Consideremos el campo escalar f definido en R3 por
f (x) = x

2

(x ∈ R3 )

y el camino helicoidal γ dado por:
γ(t) = cost, sent , t

(0

t

4π).

En este caso tenemos claramente
f γ(t) = cos2 t + sen2 t + t 2 = 1 + t 2
y también
γ (t) = − sent , cost , 1 ,
con lo cual

4π

f dl =
0

γ

(0

4π)

t

√
γ (t) =

2

(0

t

4π),

√
√
16π2
.
(1 + t 2 ) 2 dt = 4π 2 1 +
3

Interpretación. Cuando el campo escalar que se integra es constantemente igual a 1 sobre
la curva recorrida, la integral de línea coincide obviamente conla longitud del camino. A partir
de aquí podemos intuir, muy informalmente, otras situaciones más generales.
En el caso n = 2, si el campo escalar f no toma valores negativos, podemos interpretar la
integral de línea como el área de un muro construido tomando como base la curva Γ recorrida
por el camino γ y con altura variable, de forma que, para cada t ∈ [a, b], la altura del muro en
el puntoγ(t) es precisamente f γ(t) . Esta idea generaliza obviamente la interpretación de la
integral simple de una función positiva como el área comprendida bajo la gráfica de la función.
Para n = 2 o n = 3, también podemos interpretar que sobre la curva Γ recorrida por γ
tenemos una distribución lineal de masa (pensemos por ejemplo en un cable con la forma de
dicha curva), de manera que f γ(t) es ladensidad lineal en el punto γ(t). La integral de línea
nos da entonces la masa total.
Con respecto a ambas interpretaciones hay que hacer una salvedad: sólo son correctas cuando, por decirlo de manera intuitiva, el camino γ recorre la curva Γ “una sola vez”. La formulación rigurosa de esta idea puede hacerse mediante la noción de camino simple, que estudiaremos más adelante.

4.2.

Integral de línea deun campo vectorial

Definición. Sea ahora F : Ω → Rn un campo vectorial continuo en un conjunto Ω ⊆ Rn
y γ : [a, b] → Ω un camino regular a trozos. La integral de línea de F a lo largo de γ es, por
definición:
b

F . dl =
γ

F γ(t)

γ (t) dt

a

La existencia de esta integral está asegurada por las mismas razones comentadas en el caso de
un campo escalar.

4. Integrales de línea

24

Ejemplo.Consideremos el campo vectorial definido en R3 por
(x ∈ R3 )

F(x) = x
y el camino helicoidal

x = cost ; y = sent ; z = t

(0

4π).

t

Tenemos entonces
γ (t) = cost i + sent j + t k − sent i + cost j + k
= − cost sent + sent cost + t = t
(0 t 4π),

F γ(t)

con lo que
4π

F . dl =

t dt = 8π2 .

0

γ

Notación clásica. Sea F = (P, Q, R) un campo vectorial en el espacio, continuo sobre la
curva...