Linealizaci n

LINEALIZACIÓN
1. Introducción:
Cuando se requiere realizar el análisis dinámico de sistemas nolineales, puede tomarse las siguientes alternativas:
1. Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una
transformación apropiada de sus variables.
2.Simular el sistema no-lineal usando una computadora analógica
o digital y calcular su solución numéricamente.
3.Desarrollar un sistema linealque aproxime el comportamiento
dinámico del sistema no-lineal alrededor del punto específico de
operación.
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2. LINEALIZACIÓN
Linealización es el proceso matemático que permite aproximar
un sistema no-lineal a un sistema lineal.
Esta técnica es ampliamente usada en el estudio de procesos
dinámicos y él en el diseño de sistemas de control por lassiguientes razones:
1. Se cuenta con métodos analíticos generales para la solución de
sistemas lineales. Por lo tanto se tendrá una solución general del
comportamiento del proceso, independientemente de los valores
de los parámetros y de las variables de entrada. Esto no es posible
en sistemas no-lineales pues la solución por computadora da una
solución del comportamiento del sistema valida solopara valores
específicos de los parámetros y de las variables de entrada.
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2. Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseño de
un sistema de control ha sido limitado a procesos lineales.
3. VARIABLES DE DESVIACIÓN
Se define la variable de desviación, X (t), como la diferencia
entre el valor de la variable o señal x(t) y su valoren el punto de
operación.Matemáticamente se define:

X  t   x t   x
donde
X(t): variable de desviación.
x(t): variable absoluta correspondiente

x : el valor de x en el punto de operación (valor base)
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Gráfico de las variables de desviación, variable absoluta y el
punto de operación.

El valor base, es el valor de la variable en estadoestable y
generalmente describe el valor inicial del sistema dinámico y por
lo tanto es constante, implicando que:

dx
0
dt

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por lo tanto derivando n veces la ecuación, obtenemos:

d n X  t  d n x t 

,
n
n
dt
dt

n 1,2,3...

El punto de operación generalmente está en estado estacionario,
entonces:
x (o )  x

por lo tanto:

,

X ( o )0
d n X  0
0
n
dt

para

n 1,2,3...

 d n X t  
n
y la transformada de Laplace es, L 

s
X  s

n
 dt


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Así la ecuación linealizada en función de las variables de
desviación no incluyen términos constantes.
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4. LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.
Considérese la ecuación diferencial de primer orden:

Donde

dx t 
 f  x t   k
dt

es una función no-lineal de x, y k es una constante.

f  x t  
Expandiendo la función no-lineal
en series de Taylor
alrededor del punto
, se obtiene: f  x t  

x





 

 

2
df x
1 d2 f x
f  x t    f x 
x t   x 
x t   x
2
dx
2! dx
3
1 d3 f x

x t   x  ...
3
3! dx

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



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

Esta expansión seevalúa en el punto

x.

La aproximación lineal, consiste en eliminar todas las derivadas
de orden dos y mayores, entonces el valor aproximado de la
función será:
df  x 
 x t   x 
f  x t    f  x  
dx
El error introducido en la aproximación es del mismo orden de la
magnitud del termino:



1 d2 f x
2
 x t   x 
I
2
2 dx
Por lo tanto la aproximación lineal, dada en la ecuación, essatisfactoria cuando x es muy cercano a x , pues en ese caso el
valor del termino " I " es muy pequeño.
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Geométricamente, la aproximación es una línea recta que pasa por
el punto de operación, generalmente corresponde al valor de
estado estacionario, entonces:

x  0   x , X  0  0
n
Por lo tanto: d X  0 

dt

n

0

para n 1,2,3......