linealizacion de singularidades hiperbolicas

Linealizaci´
on de singularidades hiperb´
olicas.

JUAN ROBERTO CARMONA HERRERA

Tesis para optar el grado de:
Magister en ciencias menci´
on matem´
atica
Director de Tesis: Dr. Bernardo San Mart´ın Rebolledo
Tesis parcialmente financiada por proyecto fondecyt n´
umero 1110717

Antofagasta - Chile
2013

A mi Familia...

´Indice
1. Introducci´
on

4

2. Linealizaci´on topol´
ogica

6

2.1. Concepto de linealizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1.1. Parte lineal de un campo de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1.2. Linealizaci´on de singularidades de campos de vectores. . . . . . . .

8

2.2. Teorema de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Linealizaci´
onDiferenciable

22

3.1. Caso unidimensional real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3. Teoremas cl´asicos de linealizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Teorema de Sternberg

44

5. Bibliograf´ıa

63

3

1.

Introducci´
on

Uno de losproblemas centrales en los sistemas din´amicos es la descripci´on de la
estructura de ´orbitas entorno a una singularidad para un campo de vectores o, en el
caso de difeomorfismos, un punto peri´odico. Esta estructura es simple y completamente
describible, cuando nos enfrentamos a ecuaciones diferenciales lineales aut´onomas o
transformaciones lineales. Una pregunta natural a responder, es cuantode esta estructura
permanece bajo peque˜
nas perturbaciones del sistema en una vecindad de la singularidad
o del punto peri´odico en cuesti´on. Una herramienta fundamental para tal descripci´on es la
linealizaci´on. En esta tesis nos enfocamos en linealizaci´on de singularidades para campos
de vectores.
Considere la ecuaci´on diferencial no lineal en Rn ,
x˙ = Ax + f (x),
donde la matriz Atiene autovalores con parte real no nula y f : Rn → Rn es una funci´on
C r , tal que f (0) = 0, Df(0) = 0.
Estamos interesados en saber si existe un cambio de variables y = h(x) de clase C k , k ≥ 1,
con jacobiano no nulo en x = 0, que conjugue en una vecindad de y = 0 el sistema dado
anteriormente con el sistema lineal:
y˙ = Ay,
es decir
hxt = eAt h,
donde xt es el flujo asociado al campoAx + f (x).
Para el caso de ecuaciones diferenciales de variable real unidimensional, esto es, campos
de vectores en R, veremos que todo campo C k es C k−1 -linealizable. En esta tesis
presentaremos una serie de resultados que establecen condiciones para la existencia
de linealizaciones diferenciables y daremos ejemplos que mostraran que la situaci´on en
dimensiones mayores es diferente alcaso unidimensional.
Este trabajo se divide en tres cap´ıtulos, en el primero definimos el concepto de linealizaci´on
y presentamos el teorema de Hartman-Grobman, el cual establece condiciones para la
existencia de linealizaciones topol´ogicas. En el segundo cap´ıtulo presentaremos teoremas
4

cl´asicos que garantizan linealizaci´on diferenciable, entre ellos el teorema de linealizaci´on
dePoincar´e.
Henri Poincar´e en su tesis titulada ”Sur les propri´et´es des fonctions d´efinies par les
´equations aux diff´erences partielles” [9] , publicada en 1879, estudi´o la linealizaci´on
de un campo vectorial alrededor de un punto de equilibrio, a trav´es de la existencia
de soluciones anal´ıticas de ecuaciones en derivadas parciales casi lineales de primer
orden. En particular,mostr´o que cuando los exponentes caracter´ısticos del punto de
equilibrio de un campo vectorial anal´ıtico cumpl´ıan una condici´on de no resonancia y
adicionalmente una condici´on geom´etrica sobre los mismos, entonces existen coordenadas
linealizables alrededor del punto de equilibrio. Este resultado es conocido como el Teorema
de Linealizaci´on anal´ıtica de Poincar´e.
En el u
´ltimo...