Linealizacion

´ I NGENIER´A EN AUTOMATIZACI ON I ´ Control Automatico 1 Problema resuelto

Y

C ONTROL I NDUSTRIAL

U NIVERSIDAD N ACIONAL DE Q UILMES 13 de marzo de 2002 ´ Pagina 1 de 4

Problema resuelto de linealizaci´ n o
Linealizaci´ n o
Nuestro objetivo es mostrar c´ mo resolvemos un problema de linealizaci´ n alrededor de un punto de operaci´ n o o o cualquiera. Para ello utilizaremos unejemplo de tanques interconectados como se muestra en la Figura 1

qi

h1

h2 q12 qo

Figura 1: Tanques interconectados

´ Planteamos las ecuaciones de conservaci´ n de masa. Suponiendo que el area A de los tanques es constante, o y la misma en ambos tanques, tenemos que dh1 (t) 1 = (qi − q12 ) dt A y dh2 (t) 1 = (q12 − qo ) dt A (1)

donde qi es el caudal de entrada al primer tanque, q12el caudal entre tanques, y qo el caudal de salida del segundo tanque. Las alturas de nivel de l´quido en los tanques son h1 y h2 . ı El flujo q12 entre los dos tachos puede ser aproximado por la velocidad del caudal en ca´da libre de la ı ´ diferencia de altura entre los tanques por el area de secci´ n. As´, o ı y qo = k h1 (t) − h2 (t), q12 = As 2g(h1 (t) − h2 (t)) = k h1 (t) − h2 (t) √ donde k =As 2g. Por lo que si reemplazamos (2) en (1), obtenemos las siguientes ecuaciones de estados ˙ h1 ˙ = h
2 1 A

(2)

1 A

qi − k h1 (t) − h2 (t) k h1 (t) − h2 (t) − k h2

=

F1 (h, qi ) = F(h, qi ) F2 (h, qi )

(3)

Fijando el caudal de entrada en el valor constante qi = Q y resolviendo las ecuaciones algebraicas que ˙ ¯ surgen de (3) con h = 0, obtenemos el punto de equilibrio h ¯ ¯h1 = 2h2 y ¯ h2 = Q k
2

⇒

Q ¯ h1 = 2 k

2

.

(4)

Ahora linealizaremos el sistema (3) alrededor de (4); para ello calculamos los Jacobianos correspondientes vistos en la clase te´ rica. o  − √k 2A h1 −h2 = √k
2A h1 −h2

∂F A= ∂h

¯ h=h qi =Q

2A h1 −h2  k − √k − √ ¯ h=h 2A h1 −h2 2A h2 qi =Q

√k



=

k − 2AQ k2 2AQ

2

k2 2AQ k2 − AQ

B=

∂F ∂ qi

=
¯h=h qi =Q

1 A

0

´ Control Automatico 1

Problema resuelto

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qiδ Q

- Sist. Lineal ? - j

- Sist.No Lineal

-

Comparacion

Q + qiδ Sist.No Lineal
Figura 2: Diagrama de bloques del sistema simulado para comparar los resultados

Entonces el sistema linealizado resulta
k ˙ − 2AQ h1δ = ˙ k2 h 2δ 2AQ
2

k2 2AQ k2 − AQ

1 h1δ + A qi h2δ 0 δ

(5)

¯donde las variables h1δ , h2δ y qiδ representan valores incrementales alrededor de los valores de equilibrio h1 , ¯ h2 yQ.

Simulaci´ n o
El sistema linealizado que obtuvimos en (5) es un modelo aproximado que describe la din´ mica del sistema a original en un entorno del punto de operaci´ n (4). Para comparar la aproximaci´ n dada por el modelo linealio o zado con el modelo no lineal,simulamos juntos ambos sistemas en el esquema que se muestra en el diagrama de bloques de la Figura 2. Para simular el sistema linealizado (5) en S IMULINK usamos el diagrama de la Figura 3 tomando A = 10, As = 1, g = 9.8 y Q = 2. La din´ mica de los estados h1δ y h2δ la podemos ver en la Figura 5 cuando la entrada a es un valor constante de perturbaci´ n, qiδ = 0.5. o
−K− Gain

1/A Step Gain1

1 s2 1 s Gain2

Scope

−K−

Figura 3: Representaci´ n en S IMULINK del sistema linealizado o Podemos, tambi´ n representar en S IMULINK el sistema no lineal, Figura 4, donde Fcn es la ecuaci´ n e o matem´ tica expresada en la ecuaci´ n (3) como F1 (h, qi ) y Fcn1 como F2 (h, qi ). a o La din´ mica de los estados que resulta de dicha simulaci´ n la observamos en la Figura 6. a o La comparaci´n entre la aproximaci´ n y los estados reales, la observamos en la Figura 7. Podemos o o observar una peque˜ a desviaci´ n de los estados que aproximamos con respecto a los reales, esto se debe a n o que el sistema lineal es una buena aproximaci´ n en un entorno del punto de operaci´ n. Si tomamos valores o o de qiδ menores, la aproximaci´ n es mejor. Siempre que utilicemos modelos linealizados...