linealizacion

LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES.
El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque linealizar ecuaciones no lineales permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales. El procedimiento de LINEALIZACIÓN que se presenta aquí se basa EN LA EXPANSIÓN DE LA FUNCIÓN NO LINEAL ENSERIES DE TAYLOR ALREDEDOR DEL PUNTO DE OPERACIÓN Y LA RETENCIÓN SOLO DEL TÉRMINO LINEAL. Debido a que NO CONSIDERAMOS LOS TERMINOS DE ORDEN SUPERIOR de la expansión en series de Taylor, ESTOS TÉRMINOS NO CONSIDERADOS DEBEN SER SUFICIENTEMENTE PEQUEÑOS; es decir, LAS VARIABLES SOLO SE DESVÍAN LIGERAMENTE DE LA CONDICIÓN DE OPERACIÓN.
APROXIMACIÓN LINEAL DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES. A fin deobtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, SUPONEMOS QUE LAS VARIABLES SOLO SE DESVÍAN LIGERAMENTE DE ALGUNA CONDICIÓN DE OPERACIÓN. Considere un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t). La relación entre x(t) y y(t) se obtiene mediante
y = f(x) (1)
Si la condición de operación normal corresponde a , la ecuación (1) se expande en series deTaylor alrededor de este punto, del modo siguiente:
y = f(x) =
en donde las derivadas se evalúan en x = . Si la variación es pequeña, es posible no considerar los términos de orden superior en . A continuación, la ecuación (2) se escribe como:
+ K ………….. (3)
en donde


La ecuación (3) puede escribirse como

lo cual indica que es proporcional a . La ecuación (3) da un modelomatemático lineal para el sistema no lineal obtenido mediante la ecuación (1) cerca del punto de operación .
A continuación, considere un sistema no lineal cuya salida y es una función de dos entradas x1 y x2, de modo que:
………………….. (4)

A fin de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir la ecuación (4) en series de Taylor alrededor del punto deoperación normal Después, la ecuación (4) se convierte en:
……………………………………(5)
En donde las derivadas parciales se evalúan para .Cerca del punto de operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación, el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación normal se obtiene mediante

en donde




La técnica delinealización presentada aquí es válida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse como ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño, puede representar con precisión la dinámica de un sistema real paraciertas condiciones de operación, pero no puede ser preciso para otras.



LINEALIZACIÓN Y VARIABLES DE DESVIACIÓN
Al analizar la respuesta dinámica de los procesos industriales, una de las mayores dificultades es el hecho de que es no-lineal, es decir, no se puede representar mediante ecuaciones diferenciales lineales. Para que una ecuación sea lineal, cada uno de sus términos no debecontener más de una variable o derivada y esta debe de estar elevada a la primera potencia. Desafortunadamente, con la transformada de Laplace, poderosa herramienta, únicamente se pueden analizar sistemas lineales. Otra dificultad es que no existe una técnica conveniente para analizar un sistema no-lineal, de tal manera que se pueda generalizar para una amplia variedad de sistemas físicos. Por lo quese hace necesario estudiar una técnica de linealización, mediante la cual sea posible aproximar las ecuaciones no-lineales que representan un proceso a ecuaciones lineales que se puedan analizar mediante la transformada de Laplace.
“La suposición básica es que la respuesta de la aproximación lineal representa la respuesta del proceso en la región cercana al punto de operación, alrededor del cual...