Linealizacion

Linealización
Objetivo General
•

Linealizar modelos.

Objetivos específicos
•
•

Linealizar modelos básicos que se presentan en ciencias naturales.
Hacer regresión lineal por medio del método de mínimos cuadrados.

Introducción
Generalmente el modelo que representa un fenómeno natural no es una función lineal (es decir, su
gráfica no es una línea recta). Sin embargo como losmodelos lineales son más fáciles de analizar, se
puede tratar de convertir las funciones a la forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. A
este procedimiento se le denomina linealización. Métodos que permiten linealizar algunos modelos
son:
•
•

La logaritmación
Cambio de variables

Por logaritmación
Entre los modelos que permiten linealización mediante la logaritmación están:•
•

La función potencial.
La función exponencial.

La función potencial
La función

y = bx a

se linealiza a través de los logaritmos,
log y = a log x + log b

Cambiando variables,
log y ≡ y '

log x ≡ x '

se obtiene,
y ' = ax '+b'

log b ≡ b '

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín

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Linealización
Es decir,si en la función potencial se grafica log y vs log x se obtiene la ecuación de una línea
recta.
La función exponencial
La función

y = be a x

se linealiza a través de los logaritmos,
Ln y = ax + Ln b

Cambiando variables,
Ln b ≡ b'

Ln y ≡ y '

se obtiene,
y ' = ax + b '

Es decir, si en la función potencial se grafica ln y vs x se obtiene la ecuación de una línea recta.
Porcambio de variables
En los siguientes ejemplos se ilustrarán modelos que mediante el adecuado cambio de variables
quedan linealizados.
Ejemplo 1
Supóngase que se tiene un sistema masa-resorte oscilando. El modelo teórico afirma que, suponiendo que el alargamiento del resorte es proporcional a la carga aplicada (peso de la masa, m,
acoplada al resorte), el período de oscilación, P, de la masaoscilante es:
P = 2π

m
k

siendo k, la constante elástica del resorte. Esta ecuación se puede transformar en,
P2 =

4π 2
m
k

y al graficar P 2 vs m se obtiene una línea recta con pendiente,
a=

4π 2
k



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Linealización
Ejemplo 2
Para pequeñas oscilaciones, en el modelo teórico se afirma que el periodo de un péndulo simple
(masa puntual que pende de un hiloinextensible) es,
P = 2π

l
g

en donde l corresponde a su longitud y g al valor de la aceleración de la gravedad en el sitio
donde oscila. La ecuación se puede transformar en,
P2 =

4π 2
l
g

y al graficar P 2 vs l se obtiene una línea recta con pendiente,
a=

4π
g

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Regresión lineal
Dados un conjunto de datos experimentales
(x1,y1), (x2,y2),…, (xN,yN), en donde se concluye(o al menos se sospecha) que la tendencia del
comportamiento de los mismos es lineal, es possible encontrar la ecuación de la recta que mejor
los represente. Uno de los métodos empleado
para encontrar diha recta se denomina “método
de los mínimos cuadrados”.
Definiendo el error εi= yi — y, que corresponde
a la diferencia entre el valor observado yi y el
valor ajustado y=axi+b (ver figura 1).El criterio
de ajuste que toma el método de los mínimos
cuadrados es exigir que la desviación cuadrática
media sea mínima, es decir, debe de ser mínima
la suma,

N

Figura 1
N

s = ∑(ε i ) = ∑[ yi − (axi + b)]
i =1

2

i=1

2

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Linealización
El extremo de s, máximo o mínimo se obtiene cuando las derivadas de s respecto de a y de b sean
nulas, lo que da lugar a unsistema de dos ecuaciones con dos incógnitas del que se despeja a y b
obteniéndose,
N

a=

N

i =1

i =1

N

N

i =1

N ∑ xi y i − ∑ xi ∑ y i

b=

∆

N

i =1

N

i =1

N

i =1

i =1

∑ xi2 ∑ y i − ∑ xi ∑ xi y i
∆

con,
N

∆ = N∑
i =1

N

x −  ∑ xi 
 i =1 

2

2
i

Las respectivas incertidumbres en a y b son:
N

ua = σ y

∑x...