Linealizar sistemas no lineales

Linealizaci´n de Funciones No Lineales o
Antonio Flores T. August 5, 2006
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Introducci´n o

Una gran parte de la teor´ desarrollada para el dise˜o de sistemas de control emplea ıa n modelos matem´ticos lineales del proceso que se desea controlar a lazo cerrado. Sin a embargo, la inmensa mayor´ de sistemas en procesos qu´ ıa ımicos exhibe conducta no lineal. Ejemplo de sistemaaltamente no lineal lo constituye el campo de reactores qu´ ımicos a´n para reacciones muy simples. u Entonces planteamos la siguiente pregunta: C´mo podemos emplear teor´ de control o ıa lineal para el control de sistemas no lineales ? Una forma simple de responder a esta pregunta es: empleando alg´na de forma de transformar el sistema no lineal en uno u lineal. De esta forma el modelo ”linealizado”puede ser empleado para el dise˜o del n sistema de control del modelo no lineal original. Una posible ruta para el dise˜o del n sistema de control se muestra en la siguiente figura.
Modelo No Lineal Modelo Lineal Diseno del Controlador Prueba del Controlador

empezamos derivando el modelo (muy probablemente) no lineal del proceso que deseamos controlar. A continuaci´n lo transformamos en un modelolineal (el procedo imiento de transformaci´n ser´ explicado en esta parte). Posteriormente dise˜amos o a n el sistema de control para el modelo linealizado. Finalmente el sistema de control se prueba ya sea empleando el modelo lineal, o bien, el modelo no lineal original. En esta parte mostramos la manera mediante la cual una funci´n no lineal f (x, u) o puede ser representada aproximadamente poruna funci´n lineal alrededor de un cierto o punto xs (normalmente un estado estacionario del proceso).
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Qu´ es una funci´n lineal ? e o

Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a trav´s de e alguna funci´n f (·) de manera tal que o y = f (x) (2.1)

decimos quela relaci´n entre las variables y y x es lineal si la funci´n f (·) es la ecuaci´n o o o de la l´ ınea recta, y = mx + b (2.2)

donde m representa la pendiente y b es la intersepci´n al origen. En este caso, es claro o que f (x) = mx + b (2.3)

En algunos casos la variable y puede depender de m´s de una variable x1 , . . . , xn a y = f (x1 , . . . , xn ) si la relaci´n entre y y x es linealentonces o y = m 1 x1 + . . . + m n xn o bien
n

(2.4)

(2.5)

y=
i=1

m i xi

(2.6)

donde
n

f (x) =
i=1

m i xi

(2.7)

Definici´n 1 : Funci´n Lineal. La funci´n f (x) es lineal cuando est´ dada exactao o o a mente por la ecuaci´n 2.7. o N´tese que la unica diferencia entre las ecuaciones 2.3 y 2.7 es que en la ecuaci´n o ´ o 2.3 f (·) depende de una variable x, mientrasque en la ecuaci´n 2.7 f (·) depende de n o variables x1 , . . . , xn .

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Qu´ es una funci´n no lineal ? e o

Debemos notar que en practicamente todos los procesos qu´ ımicos la funci´n f (·) es o no-lineal. Esto significa que si la variable y depende de la variable x, y si la relaci´n o entre ambas variables es no-lineal, entonces f (·) no puede representarse en t´rminos de e la ecuaci´n2.7. o 2

Definici´n 2 : Funci´n No Lineal. Cualquier funci´n f (x) que no pueda represeno o o tarse en t´rminos de la ecuaci´n 2.7 se dice que es no-lineal. e o Los siguientes ecuaciones representan relaciones no lineales y = 5 + ln(x) y = 3e−2 + 6 y = x1 x2 + x3 x1 y = x3 + cos(x4 ) x2 (3.8) (3.9) (3.10) (3.11)

es claro que ninguna de estas ecuaciones puede reescribirse, o representarse, enuna forma semejante a la ecuaci´n 2.7. o Como otro ejemplo de una funci´n no lineal considere la ecuaci´n de Antoine, o o P o = eA− T +C
B

(3.12)

que representa la presi´n de vapor P o de compuestos puros como funci´n de la temo o peratura T . En la gr´fica 1 se muestra le curva de presi´n de vapor para el agua, de a o esta gr´fica es f´cil observar que la relaci´n entre P o y T es no...