Lineas de campo

Cálculo de líneas de campo por medio de la definición

Definición: Sean un campo vectorial en , / D = dom() y / que una paramétrización asociada a la línea (curva), con .

Se dice quees una línea de campo o de flujo en )

Un gráfico para que observen que se quiere interpretar:




Las líneas se ensartan en el campo de manera que la dirección tangente en cada una de ellascoincida con la dirección de los vectores del campo F. Dicho en otras palabras, queremos encontrar curvas que estén en el dominio del campo F cuyos vectores tangentes punto a punto coincidan en sudirección con los vectores del campo.


Ejemplo
1) Dados y . Probar que es línea de campo de . (ejercicio 26 (a) de la práctica de integrales de línea)



Aplicamos la definición comenzandopor el miembro izquierdo:
es por lo tanto (A)
Ahora consideramos el miembro derecho de la definición, veamos que: (B).
De (A) y (B) se cumple la definición, por lo tantoes línea de campo, de flujo o de corriente de

2) Las líneas de campo expresadas en forma vectorial se pueden obtener por medio de la definición, la misma nos conducirá a un sistema de ecuacionesdiferenciales en variable “t” que muchas veces no es sencillo de resolver y hasta puede no tener resolución analítica.
Muestro un ejemplo de la práctica de ecuaciones diferenciales, donde por estecamino se pueden determinar las líneas de campo.

Ejemplo Ejercicio 16 (c) de la práctica de ecuaciones diferenciales

Sea . Queremos hallar , para ello aplicamos la definición, asumiendo lascondiciones que ella impone.

, por igualdad de vectores resulta que:


Este sistema es fácil de resolver porque sus variables quedaron separadas en cada ecuación como se puede observar, por lotanto, por variables separables en cada una de ellas se obtiene la solución deseada:





Por lo tanto la forma vectorial de las líneas de campo queda expresada:

Verifiquen que cumple...