Lineas De Influencia

Líneas de influencia para vigas estáticamente indeterminadas

En la sección anterior se estudio el uso del principio de Müller-Breslau para dibujar la línea de influencia de la reacción, fuerza cortante y momento en un punto de una viga estáticamente determinada. En esta parte del capitulo extenderemos este método y lo aplicaremos a vigas estáticamente indeterminadas. Hay que recordar que, parauna viga, el principio de Müller-Breslau establece que la línea de influencia para una función (reacción, fuerza cortante o momento) es, a la misma escala, la forma deflexionada o línea elástica de la viga cuando sobre ésta actúa la función. Para dibujar la línea elástica apropiadamente, la capacidad de la viga para resistir la función aplicada debe cancelarse de modo que la viga puedadeflexionarse cuando la función se aplique. Para vigas estáticamente determinadas, las formas deflexionadas (o líneas de influencia) serán una serie de segmentos rectos. Sin embargo, para vigas estáticamente indeterminadas, se tendrán líneas curvas. Ahora se podrá observar la construcción de cada uno de estos tres tipos de líneas de influencia (reacción, fuerza cortante y momento) para una vigaestáticamente indeterminada. En cada caso ilustraremos la validez del principio de Müller-Breslau usando el teorema de Maxwell sobre los desplazamientos recíprocos.
Reacción en A
Para determinar la línea de influencia para la reacción en A en la figura a, se coloca una carga unitaria sobre la viga en puntos sucesivos y en cada caso se calcula la reacción en A. La gráfica de los resultados representa la líneade influencia. Por ejemplo, cuando la carga está en el punto D, figura a, la reacción en A, que representa la ordenada de la línea de influencia en D, puede calcularse por el método de las fuerzas. Para ello, se aplica el principio de superposición como se muestra en las figuras a a la c. La ecuación de compatibilidad para el punto A es entonces:
0 = fAD + RA fAA o RA = - fAD / fAA
Sin embargo,se sabe por el teorema de Maxwell, sobre los desplazamientos recíprocos, que fAD = - fDA , d, por lo que podemos también calcular RA (u ordenada de la línea de influencia en D) usando la siguiente ecuación:

Por comparación, el principio de Müller-Breslau implica quitar el soporte en A y aplicar en su lugar una carga unitaria vertical. La curva deflexionada resultante, figura 3.22.d, es acierta escala la forma de la línea de influencia para Ay. Sin embargo, de la ecuación anterior se ve que el factor de escala es (1/ fAA).
Fuerza cortante en E.
Si debe determinarse la línea de influencia para la fuerza cortante en el punto E de la viga en la figura a, entonces por el principio de Müller-Breslau, la viga se imagina cortada en este punto y se inserta en E un rodillo guiado, figura b.Este dispositivo transmitirá un momento y una fuerza normal pero ninguna fuerza cortante. Cuando la viga se deflexiona debido a las cargas cortantes unitarias positivas que actúan en E, la pendiente a cada lado del rodillo se mantiene constante y la curva de deflexión representa a cierta escala la línea de influencia para la fuerza cortante en E , figura c. Si se hubiese aplicado el método básicopara establecer la línea de influencia para la fuerza cortante en E , habría sido necesario aplicar una carga unitaria en cada punto D y calcular la fuerza cortante interna en E, figura a. Este valor VE, representaría la ordenada de la línea de influencia en D. Mediante el método de las fuerzas y el teorema de Maxwell sobre los desplazamientos recíprocos, como en el caso anterior, puede demostrarseque

Esto establece de nuevo la validez del principio de Müller-Breslau, esto es, que una carga cortante unitaria positiva aplicada a la viga en E, figura c, ocasionará que la viga se deflexione según la línea de influencia para la fuerza cortante en E. Aquí el factor de escala es (1/fAA).
Momento flexionante en E.
La línea de influencia para el momento flexionante en E en la figura...