lineas de los triangulos






Línea de Tiempo


FRANCOIS VIETE
Da su forma definitiva
a l a T r i g o n o m e t r í a . Empleó las vocales para representar las incógnitas y las consonantes para las cantidades conocidas.



GÉRARD DESARGUES
Sus trabajos constituyeron la
base de la Geometría Proyectiva e inaugura la geometría superior.








F undación de S an Petersburgo, capital delImperio Ruso.




1534
1540 1591 1601
1603
1661
1665 1667
1703

Enrique VIII de Inglaterra rompe con Roma.
PIERRE DE FERMAT
Estudió los máximos y mínimos, "Método
de las tangentes". Anuncia el cálculo diferencial, tiene una idea de la geometría analítica.
Comienzo de la expansión francesa bajo Luis XIV.

Líneas y Puntos Notables en el Triángulo



Líneas y Puntos
NotablesCEVIANA

Es aquel segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto

Nota



Triángulo Mediano.- Es aquel triángulo que se determina al unir los puntos medios de los lados de
B
α α B α α
A F C
(interior) A C F
o de su prolongación.
B
un triángulo.
B



En el ∆ ABC
(exterior)




A D C E
P N

A M C
 BF: Bisectriz del ∆ABC.


Nota


En el ∆ABC.
 BD:Ceviana interior del ∆ABC.
 BE: Ceviana exterior del ∆ABC.

MEDIANA

Es aquel segmento que une un vértice con el punto medio de su lado opuesto.

B




A M C En el ∆ ABC
 BM: mediana ⇒ AM = MC
∆ MNP: es ∆ Mediano



BARICENTRO

Es el punto de intersección de las tres medianas del triángulo.

B


P G N


A M C BG = 2GM
G: Baricentro AG = 2GN CG = 2GP

El TriánguloÓrtico o Pedal.- se determina al unir los pies de las alturas del triángulo.
B

R Q ∆ PQR: es el ∆
Órtico o Pedal

A P C




INCENTRO

Es el punto de intersección de las bisectrices internas del triángulo.

B
α α

BISECTRIZ

Es aquella ceviana interior o exterior que biseca a la medida de un ángulo.

I
ββ θ
A C
I : Incentro



I Bim. / GEOMETRÍA / 5TO. AÑO
ALTURAEs la ceviana perpendicular al lado opuesto.
B
CIRCUNCENTRO

E Es el punto de intersección de las B
mediatrices de un triángulo. x
θ

B
1 L2 α β β α
A H C
(acutángulo) B B


O

A C L3

O: Circuncentro
A C

x = θ
2

4) Ángulo determinado por una bisec- triz y una altura que parten de un
H C H A C
mismo vértice.
(rectángulo)


En el ∆ABC
(obtusángulo)Propiedades


1) Ángulo determinado por dos bisec-

B
BF : Bisectriz
 BH: Altura del ∆ABC.


ORTOCENTRO

Es punto de intersección de las alturas.
trices interiores.


B

θ

I
x θ θ



α β
I: Incentro A H F C

α - β
B

H: Ortocentro H


A C


MEDIATRIZ

Es una recta perpendicular a un lado en su punto medio.
α x
α
A C


x = 90º + θ
2



2) Ángulodeterminado por las bisec- trices de dos ángulos exteriores.
x = 2



Propiedades
Adicionales

PROPIEDAD 1



θ
B α E
α x
B L

β
θ β

a b b
α β
α β



A P


En el ∆ABC L: Mediatriz de AC
A C

C x = 90º - θ
2


3) Ángulo determinado por las bisec- trices de un ángulo interior y un ángulo exterior.


x



x = 45º - θ
4



I Bim. / GEOMETRÍA /5TO. AÑO
PROPIEDAD 2
 Notable de 15º y 75º
3) Calcula x.


x
m
α β 75º 15º
4m
B α E
α 4x



x β β
a a b b



x = α + β
2


Triángulos
Notables

S e denominan así cuando se conocen sus ángulos internos.
Ejemplos:

1) Calcula x.

B

x

D
α 115º β
A α β C
A C Resolución:
Como BE y CE son bisec trices
exteriores, luego se cumple la propiedad:

4x =90º - x/2 ⇒ 4x + x/2 = 90º
9x/2 = 90º ⇒ x = 20º


4) Calcula AC si BH = 3 y HN = 4.


 Notable de 45º

A
Resolución: B
Porlapropiedaddelasdosbisectrices P
de ángulos interiores. M

115º = 90º + x/2 H
45º
m


B
m 2


45º
m C
25º = x/2 ⇒ x = 50º

2) Calcular θ.
B
45º
A N C

Resolución:

 Notable de 30º y 60º

3x 2x-5º

C omo BN y CM son altur as ,...