Lineas de transmision roe

Líneas de Transmisión Patrón de onda estacionaria
A. Zozaya 12 de septiembre de 2007

1.

Potencia promedio que fluye en la línea
La potencia promedio que fluye en la línea en z vale: Pavg = 1 {V (z)I(z)∗ } 2 (1)

2.

Patrón de onda estacionaria

El desemparejamiento entre ZL y ZC es causante de la existencia de la onda reflejada. La onda reflejada «interfiere» con la onda incidentecreando un patrón de amplitudes que se caracteriza por la existencia de máximos (allá donde las ondas incidente y reflejada se suman constructivamente) y de mínimos (allá donde las ondas incidente y reflejada se suman destructivamente) distribuidos periódicamente (línea sin pérdidas) a lo largo de la línea. Este patrón de amplitudes se conoce como patrón de onda estacionaria. A mayor diferencia entre ZL yZC mayor la interferencia. Una médida de esta interferencia es la relación de onda estacionaria, abreviada ROE en castellano y VSWR en inglés (Voltage Standing Wave ratio).

2.1.

Relación de onda estacionaria –ROE–

La relación de onda estacionaria se define como la relación del voltaje máximo al voltaje mínimo: m´x {|V (d)|} a ROE = (2) m´ {|V (d)|} ın

1

Tomando en cuenta que V (d)= V1 e−βL (eβd + ΓL e−βd ) sigue que: ROE = m´x {|V (d)|} a m´ {|V (d)|} ın m´x V1 e−βL (eβd + ΓL e−βd ) a = m´ {|V1 e−βL (eβd + ΓL e−βd )|} ın m´x eβd + ΓL e−βd a = m´ {|eβd + ΓL e−βd |} ın 1 + |ΓL | = 1 − |ΓL |

(3)

De la Ecuación (3) se infiere que el valor del coeficiente de reflexión en la carga determina el patrón de onda estacionaria y su módulo el valor de la ROE. En elCuadro 1 se muestran los valores de la ROE para algunas impedancias de carga sencillas. Cuadro 1: Relación de onda estacionaria ROE para diversas terminaciones. ZL ΓL |ΓL | ϕL Tipo de terminación ROE ZC 1 + 0 0 + 0 ∞ + 0 2 + 0 1 + 0 2 0 + 1 0 − 1 1 + 0 n n>1 n + 0 n>1 0 −1 1
1 3

0 1 1
1 3 1 3

1 −3  −

indef. π 0 0 π
π 2 −π 2

1 1
n−1 n+1 n−1 n+1

resistiva (ZL = Zc ) cortocircuito (ZL = 0) circuito abierto (ZL = ∞) resistiva (ZL = 2ZC ) resistiva ( ZL = ZC /2) inductiva (ZL = ZC ) capacitiva (ZL = −ZC ) resistiva (ZL = Zc /n) resitiva (ZL = nZc )

1 ∞ ∞ 2 2 ∞ ∞ n n

− n−1 n+1
n−1 n+1

π 0

De la observación del Cuadro 1 se deduce que todas las terminaciones resistivas puras normalizadas de valor n o 1/n, con n > 1, producen un ROE de valor n. Se puedecomprobar (ver Sección 3) que la fase del coeficiente de reflexión en la carga determina la localización del primer mínimo del patrón de onda estacionaria. Por esta razón, haciendo mediciones sobre el patrón de onda estacionaria es posible determinar la impedancia de carga de la línea si los parámetros característicos de esta se conocen.

2

3.

Mediciones sobre el patrón de onda estacionariaDado que V (d) = V1 e−βL (eβd + ΓL e−βd ) y rescribiendo el coeficiente de reflexión de la forma ΓL = |ΓL |eϕL

= e−2(p+q)

(4)

donde p = ln 1/ |ΓL | y q = −(1/2)ϕL1 el módulo del voltaje a lo largo de la línea como una función de la distancia d de la carga se puede expresar como |V (d)| = V1 e−βL (eβd + ΓL e−βd ) = V1 e−βL eβd + e−2(p+q) e−βd = V1 e−βL e−(p+q) e[p+(βd+q)] +e−[p+(βd+q)] = 2|V1 | |ΓL || cosh[p + (βd + q)]| (5)

Expandiendo la Ec. (5) y normalizando el voltaje en la línea respecto de 2|V1 | |ΓL | se obtiene |V (d)|N =| cosh[p + (βd + q)]| = |cosh p cos(βd + q) +  sinh p sin(βd + q)| = cosh2 p cos2 (βd + q) + sinh2 p sin2 (βd + q) =
1 2

1 2 1 2

sinh2 p + 1 cos2 (βd + q) + sinh2 p sin2 (βd + q)

= sinh2 p + cos2 (βd + q)

(6)sustituyendo en la Ec. (6) los valores de p y q y expresando β = 2π/λ |V (d)|N = sinh2 ln 1 |ΓL | + cos2 2π ϕL d− λ 2
1 2

(7)

Por inspección de la Ec. (7) se infiere que los mínimos del patrón de onda estacionaria se localizan en los puntos dVmin que anulan el término cos2 2π d − ϕ2L , por tanto 2π dVmin − ϕ2L = λ λ π ± nπ(con n = 0, 1, . . .), y 2 ϕL 1 n dVmin = + ± (8) λ 4π 4 2
1

En efecto:...