Lineas De Transmisión

Gradiente
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de , ( ), indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido dela función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante , o usando la notación . La generalización del concepto de gradiente a campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.
Definición
Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada puntodel espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En estecaso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradientepermite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresaalternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del gradiente
De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:
• Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de talmanera que en cualquier punto , la temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.
• Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se definecomo H(x, y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.
Propiedades
El gradiente verifica que:
• Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.
• Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
• Su módulo es igual a estaderivada direccional máxima.
• Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
• El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplementeEn un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

Para coordenadas cilíndricas ( , ) resulta

y para coordenadas esféricas ( , , )

En un sistema de coordenadas curvilíneo general el gradiente tiene la forma:

donde en la expresión anterior se usado el convenio de sumación de Einstein.

Gradiente de un campo vectorial...