Linero DemostracionMatematicas Jsimon

LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS
En estas notas, a modo de aterrizaje en los estudios del Grado en Matemáticas, se pretende que el
alumno entre en contacto con el quehacer en Matemáticas, que el aroma del oficio matemático se
empiece a sentir dentro del aula.
Estas notas no pretenden ser exhaustivas, ni mucho menos. Ni se puede decir que el alumno que las
trabaje correctamente adquirirádefinitivamente con ellas un grado tal de madurez que lo sitúe en
plenas condiciones ante el reto de seguir las clases de las diferentes asignaturas como el de su
posterior asimilación. Pero al menos queremos que el salto cualitativo de unos estudios de
secundaria a otros de nivel superior sea lo menos traumático posible, pretendemos llenar el vacío
-grande a nuestro entender- que supone el iniciar unosestudios universitarios, los del grado en
Matemáticas, sin haber estado el alumno demasiado en contacto en el instituto con los mecanismos
lógicos en los que se basan la creación y el desarrollo de las diferentes áreas del campo matemático.
Tras unas charlas sobre Lógica Matemática y sobre el lenguaje de las matemáticas, ahora
abordamos la cuestión de la demostración en Matemáticas. Seguiremos elsiguiente índice de
contenidos:
1. Introducción. Objetivo de estas notas.
2. Tipos de demostración. Ejemplos y ejercicios.
3. Comentarios alrededor de la demostración en Matemáticas.
4. Textos de demostraciones.
5. Referencias bibliográficas.

1. INTRODUCCIÓN
Según el diccionario de la Lengua Española de la Real Academia Española,
demostración (del latín demonstratio, -onis) es, según una de lasentradas del término,
“la prueba de algo, partiendo de verdades universales y evidentes”.
En términos matemáticos, diremos que una demostración es una serie de pasos lógicos, donde cada
paso se sigue de manera lógica de los anteriores, encontrándose que el último escalón es justamente
la afirmación que se quiere probar. El siguiente esquema nos aclara de forma intuitiva el
procedimiento de trabajo enlos diferentes campos de las Matemáticas.

Aplicaciones
Teoremas, Corolarios

Lemas, Proposiciones,...

Definiciones
AXIOMAS
Partiendo de unas definiciones y un cuerpo axiomático bien definidos, se trata de ir desarrollando
un cuerpo teórico en el que en primer lugar se van deduciendo, mediante pasos lógicos, una serie de
resultados “menores” (lemas, proposiciones, …), que vienen a ser piezas deun puzle que unidas
convenientemente dan lugar a resultados de mayor envergadura y calado.
Aunque en principio el cuerpo de doctrina que se desarrolla es meramente teórico, no son
desdeñables -ni debemos perder su perspectiva- las posibles aplicaciones de los resultados
encontrados. Sin ir más lejos, la descomposición de los números naturales en factores primos es
pilar en que se basa el fluirseguro de información en Internet.
A continuación, veremos los diferentes métodos de demostración que se emplean en los pasos
lógicos que conducen a las afirmaciones que se quieren probar. Debe destacarse que la validez de
los resultados obtenidos siguen un estricto protocolo o control de calidad: partiendo de verdades ya
conocidas debemos encontrar argumentos lógicos que nos conduzcan a la conclusióndeseada.

2. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS
Tratamos en este apartado los siguientes mecanismos lógicos:
•

Método directo.

•

Reducción al absurdo.

•

Contrarrecíproco.

•

Bicondicionales (doble implicación). Equivalencias múltiples.

•

Método de inducción.

•

Contraejemplos.

Método directo

A

B

En los libros de texto se suele leer:
“Si A, entonces B”
“Para que se cumpla B essuficiente que se cumpla A”
“B es una condición necesaria para que se cumpla A”
Se trata de de demostrar que si se cumple la propiedad A, entonces se verifica B.
Ejemplos:
i) Si a es un número real, sabiendo que en el conjunto de los números reales se cumple la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma y que 0 es el elemento neutro de la
suma, probar que a×0 =0.
ii) Si n es un número...