Lis10 II13_al Copia

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

Listado 10
ALGEBRA LINEAL (520131)
1.- Sean t0 , t1 , ...,tn , n´
umeros reales distintos. Para p y q en Pn se define:
< p, q >= p(t0 )q(t0 ) + p(t1 )q(t1 ) + ... + p(tn )q(tn )
a) Verifique que <· , · > definido, constituye unproducto interior en Pn .
b) Para los n´
umeros reales 0,1,2 y los polinomios de P2 : p = t2 − t + 2,
q = −3t2 + 4, r = 4t + 3, obtener: < p, q >, < q, r >, ||p||, ||r||.Los dos
u
´ ltimos c´alculos con la norma inducida por el producto interior.
2.- Verificar que:
a) En R4 los vectores (0, 1, −2, 5), (0, 2, 1, 0) y (1, 0, 0, 0) , con elproducto
interior usual en R4 , verifique que forman un conjunto ortogonal.
b) En el espacio vectorial C[0, 2π] con el producto interior
2π

f (t)g(t)dt

< f, g >=
0verifique que el conjunto
1
1
1
1
sen x, sen 2x, cos x, cos 2x
π
π
π
π
es ortornormal.
3.- Aplicando el procedimiento de Gram-Schmidt, obtenga una base ortogonal
para lossiguentes espacios vectoriales, a partir del producto interior y la base
dados.
a) En IR3 con el producto interior usual y la base B = {(0, 1, −1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}
b)En P2 con el producto interior del problema 1 b) y base B = {t2 , t2 +
t, t2 + t + 1}

1

4.- Considere el espacio vectorial de las matrices triangulares superior dedos
por dos y la base de este espacio:
B=

1 0
0 1

,

1 0
0 0

,

1 1
0 1

.

A partir de esta base encuentre una base ortonormal con el producto interior
< A, B >= tr(B tA), A y B ∈ M2×2 (IR).
5.- Sea (V, < ·, · >) un e.v.c.p.i de dimensi´on finita. Si W ⊆ V , verificar que
W ⊥ es subespacio de V .

ADP/adp.
Noviembre, 2013.

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