Lista De Ejercicios 1

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FCULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA

MA-1005 Ecuaciones Diferenciales
Segundo Ciclo del 2011

Lista de ejercicios # 1
Conceptos b´
asicos y ecuaciones de primer orden
(
1. P1-I-2006 Muestre que el cambio de variable y = x

1+v
1−v

)
convierte a la ecuaci´on diferencial

′

x2 y − xy = y 2 − x2
en una ecuaci´on diferencial en variables separables y resu´elvala.2. P1-II-2006 Considere la ecuaci´on diferencial 2xy 3 dx + (x2 y 2 − 1) dy = 0.
(a) Muestre que la sustituci´on y = z a transforma la ecuaci´on dada en
2xz 3a dx + a(x2 z 3a−1 − z a−1 ) dz = 0.
(b) Determine el valor de a tal que la ecuaci´on sea homog´enea.
(c) Resuelva la ecuaci´on original.
3. Haga la sustituci´on u = ln y en la ecuaci´on deiferencial y ′ + p(x) y = q(x) y ln y, para obteneruna
ecuaci´on lineal de primer orden en u.
Aplique este procedimiento para resolver la ecuaci´on diferencial x y ′ = 2 x2 y + y ln y.
4. Use la sustituci´on u = x ln y para resolver la ecuaci´on diferencial ( x y + 2 x y ln2 y + y ln y ) dx +
( 2 x2 ln y + x ) dy = 0.
5. Muestre que la sustituci´on v = x y permite separar variables en una ecuaci´on diferencial de la forma
[ f (x) + y g(xy) ] dx + xg(xy) dy = 0.
(
)
Use este m´etodo para resolver la ecuaci´on diferencial x2 + y sen xy dx + x sen xy dy = 0.
6. P1-II-2005
(a) Muestre que el cambio de variables u = yex separa variables en la ecuaci´on diferencial
y dx + (1 + y 2 e2x ) dy = 0,
y luego resu´elvala.
(b) Determine la regi´on del plano xy en la cual, para la ecuaci´on dada originalmente, se puede garantizar
la existencia y unicidadde las soluciones.
7. P1-I-2010
(a) Determine la regi´on del plano xy en la cual la ecuaci´on diferencial
√
y ′ = 2 + y − 2x + 3
tiene soluci´on u
´nica para cada punto (x0 , y0 ) de la regi´on.
1

(b) La ecuaci´on anterior posee una soluci´on singular. Determ´ınela. ¿Afecta la existencia de tal soluci´on
a la unicidad establecida en el punto anterior?
8. P1-RI-2006 Resuelva la ecuaci´ondiferencial
′

′
y
ln y + ey
+ y ey =
−1
y
x

por medio del cambio z = ln y + ey .
9. Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuaci´on, efectuando una sustituci´on
del tipo indicado:
dy
= ( x + y + 1)2
dx
√
dy
(b)
= 2+
y −2x+3
dx
dy
2x − y
(c)
=
dx
x − 2y
(d) ( 2x − y − 4 ) dx − ( x − 2y + 1 ) dy = 0
(e) ( 6x + 3y − 5 ) dx − ( 2x + y ) dy = 0
(a)

(f)

haciendo la sustituci´onadecuada.
haciendo la sustituci´on adecuada.

( 2 + 3 x y 2 ) dx − 4 x2 y dy = 0

haciendo la sustituci´on

y = vx

haciendo la sustituci´on
haciendo la sustituci´on

x = u+ay y = v +b
v = 2x + y

haciendo la sustituci´on y = v xn

y3
y
− 5
x
x
(h) ( 1 + x2 y 2 ) y + ( xy − 1 )2 xy ′ = 0
(g) y ′ = 3

haciendo la sustituci´on

y = z xn

haciendo la sustituci´on

u = xy

10. Obtenga la soluci´on dela ecuaci´on diferencial
y dx + x ( ln x − ln y − 1 ) dy = 0
que cumple con la condici´on y(1) = e.
11. Muestre que la sustituci´on z = ax + by + c transforma la ecuaci´on diferencial
y ′ = f (ax + by + c)
En una ecuaci´on de varibles separadas. Aplique este m´etodo para resolver las ecuaciones siguientes:
y ′ = (x + y)2
′

12. Considere la ecuaci´on diferencial y = f

(

y ′ = sen2 (x − y + 1)ax + by + h
dx + cy + k

)
.

(a) Si ac − bd ̸= 0, las rectas ax + by + h = 0 y dx + cy + k = 0 se intersectan en un u
´nico
punto ( x0 , y0 ). Muestre que, en ´este caso, la sustituci´on u = x − x0 y v = y − y0 transforma
la ecuaci´on en una ecuaci´on homogenea en las variables u y v .
(b) Cuando ac − bd = 0, pruebe que la sustituci´on z = ax + by da por resultado una ecuaci´on en
variablesseparables.
(c) Aplique lo anterior para resolver el siguiente par de ecuaciones diferenciales:
y′ =

3x − y + 2
6x − 2y

y′ =

2

12x + 5y − 9
−5x − 2y + 3

13. Compru´ebese que la ecuaci´on diferencial
y′ =

y f ( xy )
x g( xy )

se convierte en una ecuaci´on de variables separables, mediante la transformaci´on z = xy .
Aplique este procedimiento para resolver la ecuaci´on diferencial
y′ =

y ( 2xy...