Lista TeoriaDeConjuntos

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Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Escuela de Matem´atica
MAY230 - Matem´atica para Inform´atica I
1er Semestre 2012

Lista de ejercicios #3
Teor´ıa de conjuntos
Los siguientes ejercicios son tomados del libro de texto Introducci´
on a la Matem´
atica
Discreta, 4a edici´on, de Manuel Murillo Tsijli y la Editorial Tecnol´ogica de Costa Rica.
Secci´
on 2.1 (Definiciones y operaciones)
1. SiA = {a, b, c}, B = {c, d, e} y C = {c, e, f, g}, calcule:
(a) A × (B − C)
(b) P (A − B)
(c) (A

C) ∩ B

2. Si U = {a, b, c, d, e, f }, A = {a, b, e}, B = {c, e, f } y C = {b, e, f }, calcule
[(A − B) ∪ C] ∩ (B

C) ∪ {d}.

3. Si A = {∅, 2, {2}} y B = {1, {2}}, determine los conjuntos B × A, A ∩ B, P (A) y B − A.
4. Si A = {{∅}, 1, {2}, {3}} y B = {3, {2}}, calcule:
(a) (A ∩ B) − (A

B)

(b) (A −B) × (B − A)
(c) P (A − B)
5. Si A = {a, b}, B = {b, c, d} y C = {a, d}, donde el conjunto universo es U = {a, b, c, d, e, f },
calcule:
(a) (A ∪ C)

B

(b) P A ∩ B
(c) (C × B) − (A × C)
6. Sea U = {1, 2, . . . , 8, 9} el universo, A = {3, 4, 5} y B = {3, 5, 8, 9}. Calcule los conjuntos:
(a) P (A ∩ B)
(b) B − A
(c) (A

B) × (A ∪ B)

7. Si A = {a, b, g}, B = {b, d, e, g} y C = {a, b, d, f, g}, con U= {a, b, c, d, e, f, g} como el
conjunto universo, calcule:
(a) (A

C) ∩ B − A

(b) P (C − B) × (A ∩ B)

Ejercicios de Introducci´
on a la Matem´
atica Discreta, M.Murillo

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8. Si A = {a}, calcule P (P (A)) y P (A) × P (A).
9. D´e un ejemplo de cuatro conjuntos A, B, C y D, tales que A ∈ B, B ∈ C, C ∈ D y
A ∈ D.
10. Sean A = {2, 3, 4}, B = {1, 3, 4} y C = {1, 2, 4}, con el conjunto U = {0, 1,2, 3, 4, 5}
como universo. Calcule:
(a) C − (A

B)

(b) P (A) − P (B)
(c) (A ∩ C) × (B ∪ C)
11. Si A = {1, 2}, B = {3, 5, 7}, C = {2, 4, 5, 6} y D = {2, 5, 6}, con U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
como el conjunto universo, calcule:
(a) (A

B) − B ∩ D

(b) P (B − D) × P (B − C)
12. Sean P y Q dos proposiciones abiertas definidas por:
P (x) : x es m´
ultiplo de 2
Q(x) : x es m´
ultiplo de 3
Si U = {1, 2,3, . . . , 10}, calcule:
A = {x ∈ U / P (x) ∨ Q(x)}
B = {x ∈ U / P (x) ∧ Q(x)}
C = {x ∈ U / P (x) ∨ Q(x)}
13. Si A = {1, 2, 3}, B = {∅} y C = {{1}, {2, 3}, {2}}, determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
(a) ∃x[x ∈ C → x ⊆ A]
(b) ∀x[x ∈ A → {x} ∈ C]
(c) ¬∀x[x ∈ B → x = ∅]
14. Si A = {3n − 2 / n ∈ Z} y B = {3m + 4 / m ∈ Z}, determine si la expresi´on A = B es
verdadera o no.
15.Si es posible, determine un conjunto S, no vac´ıo, que satisfaga la proposici´on ∀x[x ∈ S →
x ⊆ S].
16. Si A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6} y C = {1, 2, 7, 8}, con el conjunto U = {1, 2, . . . , 7, 8}
como universo:
(a) Calcule P A ∩ C .
(b) Calcule (A − B) × {e, f }.
(c) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i. (∃x ∈ B)[x2 − 1 ∈ C]
ii. (∀x)[x ∈ A → (x + 1) ∈ B]Ejercicios de Introducci´
on a la Matem´
atica Discreta, M.Murillo

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17. Para cada una de las siguientes parejas de conjuntos A y B, calcule los conjuntos A ∪ B,
A ∩ B, A − B, B − A y A B.
(a) A = [−1, 4[, B = [0, 2]

(c) A =]−∞, 2], B = [1, 3]

(b) A = [1, 5], B = [0, 3[

(d) A = [3, +∞[, B =]1, 5]

18. Para cada uno, represente en un sistema cartesiano el conjunto A × B:
(a) A = {−1, 0, 1}, B = {2,3}

(d) A = [−1, 3[, B = {1, 2}

(b) A = [−1, 3], B = [1, 2[

(e) A = R, B = {2}

(c) A = {−1, 3}, B = [1, 2[

(f) A = [1, +∞[, B =]−∞, 3[

19. Considere los conjuntos A = [−1, 1], B = [−2, 2], C = {−1, 0, 1} y D = {−2, −1, 0, 1, 2}.
Represente en un sistema cartesiano los conjuntos siguientes:
(a)
(b)
(c)
(d)

{(x, y) ∈ A × B / y = x}
{(x, y) ∈ C × D / y = x}
{(x, y) ∈ C × D / y = 2x − 1}
{(x, y)∈ A × B / y = 2x − 1}

(e) {(x, y) ∈ C × D / |x + y| = 1}
(f) {(x, y) ∈ C × D / |x + y| ≤ 1}
(g) {(x, y) ∈ C × D / |x| + |y| ≤ 1}

umeros reales x que satisfacen
20. Si A = [0, 1], el intervalo cerrado que contiene todos los n´
la condici´on 0 ≤ x ≤ 1, determine el valor de verdad de las proposiciones:
(a) ∃x ∈ A ∧ ∃y ∈ A tal que x + y < 1
(b) (∀x ∈ A)(∃y ∈ A)[0 < y < x]
(c) (∀x ∈ A)(∀y ∈ A)[∃z...