Listado I

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

Listado I
L´
ogica y Conjuntos.
1. Verifique si las siguientes expresiones corresponde o no a una proposici´on. De ser
proposici´
on, obtenga su valor de verdad.
(a) Pablo Neruda fue un futbolista del Vial.
(c) ¡ Ayudame, por favor !.
(e) Los perros tienen cuatro patas.

(b) 5 + 8 = 45.
(d)x + y = 20.
(f ) Estudien matem´atica.

2. Escriba las siguientes proposiciones en forma simb´olica.
(a) Juan va al cine y Marcela estudia matem´atica. (b) Luis es chico o 4 + 2 = 7.
(c) Ma˜
nana es Domingo o el perro ladra.
(d) Jorge no estudia ingl´es.
3. Sean las proposiciones p : “10 > 5”, q : “El d´ıa tiene 25 horas” y r : “ma˜
nana es
viernes”, siendo estas verdadera, falsa y verdadera,respectivamente. Escriba las
siguientes proposiciones y determine su valor de verdad.
(a) p ∨ q
(d) q ∧ ∼ p

(b) p ∧ r
(e) p r

(c) r → q
(f ) (p ∨ q) ↔ (p ∧ r)

4. Indique si las siguientes proposiciones corresponden a una tautolog´ıa, contingencia
o contradicci´
on.
(a) (p ∧ q) ∧ (∼ p ∧ ∼ q)
(d) (p ∧ q) ∨ q

(b) (r ∨ ∼ q) ↔ ∼ p
(e) (p ∨ q) → (r∧ ∼ r)

(c) (p ∧ ∼ q) ∧ ∼ p
(f ) (p ∧ q) ∨ (q ∧ ∼ r)5. Probar las siguientes implicaciones l´ogicas que son algunas de las llamadas reglas
de inferencia.
(a) p =⇒ (p ∨ q)

(b) (p ∧ q) =⇒ p

(c)

p ∧ (p → q) =⇒ q

(d)

(e)

(p ∨ q)∧ ∼ p =⇒ q

(f )

(p → q)∧ ∼ q =⇒∼ p
(p → q) ∧ (q → r) =⇒ (p → r)

6. Sea A el conjunto formado por personas y considere las funciones proposicionales
P (x, y) : x es mayor que y

y

Q(x, y) : x es m´as r´apido que y,

parax, y ∈ A. Escriba por comprensi´on las siguientes proposiciones:
a) P (Juan, Pedro) ∨ Q(Juan, Pedro)
b) ∃y ∈ A : P (Marcos, y) ∧ Q(Marcos, y)
c) ∀x ∈ A, ∀y ∈ A : P (x, y) → Q(x, y)
d ) ∀x ∈ A, ∃y ∈ A : P (x, y)

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7. Escriba simb´
olicamente los siguientes predicados:
a) Existe un u
´nico tenista mejor que Marcelos R´ıos.
b) Todos los bebes son bonitos .
c) Existe un n´
umero que es m´as grandeque cualquier soluci´on de la ecuaci´on o
no tiene soluci´
on.
8. Determine el valor de verdad y niegue las siguientes proposiciones.
(a)
(c)
(e)
(g)

∀x ∈ R : x > 0
∀x ∈ R : x2 ≥ 0
∀x ∈ R, ∀y ∈ R : x > y
∃x ∈ R, ∀y ∈ R : x2 + y 2 > 0

(b)
(d)
(f )
(h)

∃x ∈ R : x > 0
∃x ∈ R : x2 > 0
∃! n ∈ N, ∀x ∈ R : x < n
∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x2 + y 2 > 0

9. Considere la proposici´
on:
p : “Para todo n´
umeroreal x, y se tiene (x + y)4 = x4 + 4 x3 y 3 + y 4 ”.
a) Obtenga el valor de verdad de la proposici´on p.
b) Escriba simb´
olicamente la proposici´on p.
c) Niegue la proposici´
on obtenida en la parte b).
d) Obtenga formalmente el valor de verdad de la proposici´on anterior.
10. Considerando U = {x ∈ U : x es alumno del curso Matem´atica 529103} y los
conjuntos: A = {x ∈ U : x estudia Qu´ımica} y B ={x ∈ U : x estudia Biolog´ıa}.
Usando las operaciones ∩ (Intersecci´on), ∪ (Uni´on), c (Complemento) y − (Diferencia) describa los siguientes conjuntos en funci´on de A y B.
a) S1 = {x ∈ U : x no estudia Qu´ımica}
b) S2 = {x ∈ U : x no estudia ni Qu´ımica ni Biolog´ıa}
c) S3 = {x ∈ U : x estudia Biolog´ıa o Qu´ımica pero no ambos}
Adem´
as describa por comprensi´on y con palabras los siguientesconjuntos:
d) Ac ∩ B

e) B − A

f) Ac ∪ B c

11. Considere U = R y los conjuntos: A = {x ∈ N : x ≤ 7}, B = {x ∈ Z : 0 ≤
x < 3} y C = {x ∈ R : −10 < x − 5 ≤ 10}. Describa por extensi´on los
siguientes conjuntos:
(a) A y B.
(d) Ac ∩ B

(b) A ∩ C
(e) P(B)

(c) (B − C) ∪ A
(f ) A ∩ B ∩ C

12. Considere U = R y los conjuntos: A = [0, 5[, B = {x ∈ R : x ≥ 2} y
C =] − ∞, 1[. Defina los siguientesconjuntos:
(a) Ac − B
(d) Ac ∪ C c

(b) (A ∪ B)c
(e) Ac ∩ B c

(c) (A ∩ C)c
(f ) C ∩ B c

Adem´
as, verifique las Leyes de De Morgan y que C ∩ B c = C − B.

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13. Para A y B conjuntos, complete la siguiente tabla:
A⊂B A∩B =φ A=φ
B)c

(A ∩
A−B
B−A

14. Considere el conjunto A definido por:
A := {x ∈ R : p(x) es verdadero }.
Determine el conjunto A cuando p(x) est´a dado por:
(a) x2 + x > 0
(d)

3x − 5...