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Geometría Analítica 3

LA CIRCUNFERENCIA

d(P; 0) 

Elevando al cuadrado

Definición
Se llama circunferencia a la sección cónica
generada al cortar un cono recto con un plano
perpendicular al eje del cono.
La circunferencia es el lugar geométrico de
todos los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro (C).
La distancia constante del centro a todos los puntosde la
circunferencia recibe el nombre de radio.

Ecuación de la circunferencia
A partir de la definición vamos a deducir la ecuación de una
circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y
radio r.
 Si P(x; y) es un punto
que pertenece a la
circunferencia entonces la
distancia de P al centro
es:

x 2  y2  r

x2  y2  r2









x  h 2  y  k 2 R2
Esta es la ecuación canónica de la circunferencia de centro
(0; 0) y radio r
 Si P(x; y) es un punto
que pertenece a la
circunferencia con
centro en C (h; k) y radio
igual a r, entonces la
distancia de P al centro
es:

d(P; C) 

(x  h)2  (y  k)2  r

Elevando al cuadrado:

(x  h)2  (y  k)2  r2
Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h;
k) y radior

Javier Trigoso/Freddy Liñán

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Ecuación general de la circunferencia
Desarrollando la fórmula anterior obtenemos:

x 2  2hx  h2  y2  2ky  k 2  r 2
x

2

 2hx  y

2

Ordenando:

 2ky  h
2

2

2

k

2

r

2

 0

2

Haciendo: -2h = D; -2k = E; h + k – r = F y reemplazando en
la ecuación anterior, obtenemos:x2  y2  Dx  Ey  F  0
Conocida como la ecuación general de la circunferencia.

PARA LA CLASE..
01. Determina el centro y el radio de cada una de las siguientes
circunferencias:
 x 2  y 2  100
 ( x  2) 2  y 2  64
 x 2  ( y  3) 2  121
 ( x  1) 2  ( y  1) 2  49
 ( x  5) 2  ( y  4) 2  50
02. Deduce la ecuación de cada una de las siguientes
circunferencias:
JavierTrigoso/Freddy Liñán






centro en (-3; 5) y radio 2
centro en (2; -5) y radio 3
centro en (4; 0) y radio 2
centro en (0; -2) y radio 1

03. Determina la ecuación de la circunferencia que satisface
las siguientes condiciones:
 centro en (0; 0) y pasa por (-3; 4)
 centro en (3; -2) y pasa por (11; -2)
 centro en (2; 4) y tangente al eje X
 centro en (-3; -2) y tangente aleje Y.
04. Los puntos P (2; 5) y Q (-4; -3) son los extremos del diámetro
de una circunferencia. Determina el centro, el radio y la ecuación
de esta.
05. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre
el eje Y y que pasa por los puntos (2; 2) y (6; -4).
06. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen
de coordenadas y tiene su centro en el punto deintersección de
las rectas: L1: x – 2y = 1; L2: x + 3y = 6
07. Determina el centro y el radio de cada uno de las siguientes
circunferencias:
 x 2  6x  y 2  10y  2
 x 2  8x  y 2  6y  15
 9x 2  12x  9 y 2  77
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 16x 2  8x  16y 2  32y  127

15. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
(1; 4) y que es tangente a lacircunferencia de ecuación

08. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
(-3; 4) y es concéntrica con la circunferencia de ecuación:

C : x2  6x  y2  2y  5  0 en el punto (-2; 1).

C : x2  y2  6x  2y  6  0

16. La circunferencia de ecuación C : x2  y2  40 es

09. Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita al
triángulo de vértices (0; -1), (4; -5) y (0;-9)

intersectada por una recta en los puntos A y B, cuyas
coordenadas son (2 ; a) y (6 ; b) respectivamente. Calcula el valor
de a + b, si a > 0 y b > 0

10. La ecuación de una circunferencia es
2

C : (x  4)  (y  3)

2

 20 . Halla la ecuación de la recta

tangente a esta circunferencia en el punto (6; 7)

17. Encuentra la ecuación de la circunferencia que está inscrita...