Listado1

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA HPV/

Listado 1. Estructuras Algebraicas.. 1. Pruebe que: Si G es un grupo abeliano, entonces paratodo a, b ∈ G y todo n∈Z (a · b)n = an · bn 2. Pruebe que: Si G es un grupo tal que para todo a, b ∈ G: (a · b)i = ai · bi para tres enteros consecutivos i, entonces G es abeliano. 3. Pruebe que todogrupo de orden menor o igual a 5 es abeliano. √ 4. Pruebe que G = a + b 2 : a, b ∈ Q, a = 0 ∨ b = 0 es un grupo bajo la multiplicación de números reales. 5. Sea m > 0 un entero fijo. Sea Zm elconjunto de las clases de equivalencia de Z bajo la congruencia módulo m. Pruebe que la operación + en Zm definida por a+b=a+b es una ley de composición que hace de Zm un grupo abeliano Construya las tablaspara Z2 , Z3 y Z4 . 6. Sea (G, ·) un grupo. Pruebe que: a) Si a ∈ G, entonces N (a) = {g ∈ G : g · a = a · g} es un subgrupo de G N (a) se llama normalizador o centralizador de a, en G. b) Z (G) ={g ∈ G : g · x = x · g, ∀x ∈ G} es un subgrupo de G. Z (G) se llama el centro de G. c) Cuando el grupo G es abeliano, ¿qué son N (a) y Z (G)? 7. Muestre que la unión de dos subgrupos de un grupo G noes necesariamnete un subgrupo de G. 8. Sea G un grupo y (Hn )n≥1 una familia de subgrupos de G tal que ∀n ≥ 1 :
∞

Hn ⊆ Hn+1 . Pruebe que

Hn es un subgrupo de G.
n=1

9. Sea G un grupoabeliano. Sea H ≤ G y S (H) = {x : x ∈ G ∧ x · x ∈ H} . Pruebe que S (H) ≤ G. 10. Sea G un grupo. Si a ∈ G y am = 1, entonces O (a) | m. O (a) es el orden de H = a . 11. Sea (G, ∗) un grupo tal que ∀x ∈G : x2 = 1G . Pruebe que G es abeliano. 12. Sean (G, ∗) y (H, ⊼) grupos. Sobre el conjunto producto cartesiano G × H se define la operación binaria interna (g1 , h1 ) ⊗ (g2 , h2 ) = (g1 ∗ g2 , h1 ⊼ h2) Aplique el ejercicio 1 para demostrar que Z2 ⊕ Z2 es un grupo abeliano. Decida si Z2 ⊕ Z2 ∼ Z4 . = 13. Pruebe que: Si G = a es finito de orden m, entonces: (k, m) = 1 ⇒ ak es un generador de G....