Listado3 15

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
´
FACULTAD DE CIENCIAS F´
ISICAS Y MATEMATICAS

´
LISTADO 3: NUMEROS
REALES
´ n a la Matema
´ tica Universitaria - 520145
Introduccio

1) Demuestre:
1
≤ −2,
x
1
1
: a + ≤a3 + 3 ,
a
a

1.1) (P) ∀ x ∈ R− : x +
1.2) (P) ∀ a ∈ R+

a+b
< b,
2
1.4) ∀ a, b, c ∈ R tales que a = b = c se cumple a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca,
1.3) ∀ a, b ∈ R se cumple que si a < b, entonces a <1.5) (P) ∀ x, y ∈ R+ se cumple que x2 + y 2 > 2xy,
1.6) ∀ a, b ∈ R+ tales que a = b se cumple que a3 + b3 > a2 b + ab2 ,
1.7) (P) ∀ a, b ∈ R : |a + b| ≤ |a| + |b|.
2) Determine los valores de x ∈ Rpara los cuales se satisfacen las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
2.1) x2 + x + 1 = 0,

2.6) −1 <

2.2) (P) (x + 1)(x − 3) = 1,

1
< 3,
x+5

2.7) −x + 3 ≤ 2x − 1 ≤ x,

2.3) x4 + 7x2 = −12,
x
12.4)
+
+ 1 = 0,
2 2x
3x + 1
2.5) (P)
> x,
1−x

2.8) (P) x ≤ x2 ,
2.9)

x+1
x
≤
+ 1,
x−3
x+2

x3 − 2
x3 − 4
<
,
x2 + 1
x2 + 2
2.11) (P) 1 ≤ x2 ≤ 9,

2.10)

x2 − 6x − 7
< 3,
x2 + 2x + 1
x2 + 10x + 16
2.13)(P)
> 10.
x−1
2.12)

3) Sean a, b ∈ R. Determine los valores de x ∈ R para los cuales se satisface la siguiente ecuaci´on:
a+b−x
a2 − b2
1
=
− .
2
x
x3
x
Observaci´
on: Tenga en cuenta que existenvalores de a y b para los cuales esta ecuaci´on no tiene soluci´
on.
4) Sea m ∈ R. Considere la ecuaci´
on:
(m − 5)x2 − 2(m − 2)x + (m + 1) = 0.
4.1) ¿Para qu´e valores de m existe un u
´nico x ∈ R quesatisfaga la ecuaci´on anterior? Encu´entrelo, si
existe.
4.2) Determine los valores de m para los cuales existen dos n´
umeros reales, distintos entre s´ı, que satisfagan
la ecuaci´
on anterior.
4.3)¿Para cu´
ales de los valores encontrados en 4.2 se cumple que el producto de las soluciones de la
ecuaci´
on dada es 3?
4.4) ¿Para cu´
ales de los valores encontrados en 4.2 se cumple que lassoluciones de la ecuaci´on dada tienen
el mismo valor absoluto?
1

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Trimestre 1, 2015, UdeC

5) Determine para qu´e valores x ∈ R se satisfacen las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
5.1) |4x + 3| =...