literatura

2. 4. 2 Método de Reducción por suma o resta o de Eliminación
Recordemos que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjuntos solución.
El método de reducción consiste en transformar el sistema dado en uno equivalente. En
esencia consiste primero en ver si alguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en
ambas ecuaciones, si no es así se trata de acomodar para que así lo sea.Luego, restando o
sumando miembro a miembro las ecuaciones, se obtiene una ecuación con una incógnita
menos , esto quiere decir que se redujo el número de incógnitas, de allí el nombre de reducción
o eliminación.
Los pasos a seguir son:
1.- Preparamos ambas ecuaciones, multiplicando (dividiendo) por una constante (número)
adecuada para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente,salvo signo que puede
ser positivo (o negativo), en ambas ecuaciones.
2.- Restamos (o sumamos), según signo del coeficiente, miembro a miembro ambas
ecuaciones y con ello desaparece una incógnita, así reducimos el número de ecuaciones, en
nuestro caso a una ecuación.
3.- Resolvemos la ecuación obtenida.
4.- Luego a este resultado lo llevamos a cualquiera de las dos ecuaciones iniciales paraobtener la otra incógnita (o podemos emplear la misma técnica para despejar la otra incógnita).
5.- Verificar la solución obtenida, en ambas ecuaciones.
Ejemplos: Resolver los sistemas:
a)

3x
3x

y 7
5y 1

b)

2x
4x

3 y 19
y 23

c)

3x
5x

6y
4y

2
1

a) Después de observar el sistema vemos que x tiene el mismo coeficiente en ambas
ecuaciones, por lo tanto restandomiembro a miembro obtenemos la ecuación: y 5 y 6
de donde y =1, finalmente reemplazado en la primera ecuación resulta x = 2.
Verificación:

3 2 1
3 2

7

5 1 1

; luego, la solución única es: x , y

2, 1

b) En este ejemplo después de observar el sistema, tenemos dos posibilidades:
Primero: Igualamos los coeficientes de x multiplicando por 2 la primera ecuación:
4 x 6 y 38
,restamos miembro a miembro y obtenemos y 3 .
4 x y 23
Ahora multiplicamos la segunda ecuación por 3, para igualar los coeficientes de
2 x 3 y 19
, restando miembro a miembro tenemos x = 5.
12 x 3 y 69
Verificación:

2 5
4 5

3 3 19
; luego la solución única es: x , y
3 23

y :

5, 3

Segundo: En la primera ecuación podemos igualar los coeficientes de y, si dividimos por 3:
2
1
xy
3
3
4x

y

23

Queda para el lector completar el ejemplo y verificar que se obtiene la misma solución.

45

b) En este sistema las incógnitas no tienen coeficientes iguales ni tampoco múltiplos uno del
otro, por lo tanto, tenemos dos opciones para resolverlo: elegir el método de sustitución o el
método de reducción. Lo haremos por este último.
Primero: Tratamos de igualar loscoeficientes de x, para ello procedemos de la siguiente
15 x 30 y 10
, ahora
manera, multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda por 3:
15 x 12 y 3

1 6 , finalmente miramos el sistema
restamos miembro a miembro: 42 y
7 , es decir, y
dado y vemos que nos conviene reemplazar en la primera ecuación y obtenemos el valor de
1
x 1 3 . Queda para el lector la verificación de que lasolución única es: x, y
, 1 .
3

6

Segundo: Podríamos haber elegido de igualar los coeficientes de y, multiplicando la primera
6 x 12 y 4
, sumando miembro a miembro resulta
ecuación por 2 y la segunda por 3:
15 x 12 y 3
1 3.

x

Queda para el lector encontrar el valor de y por este segundo camino. Escribir la solución y
verificarla.
Además, COMPLETAR LOS PASOS INTERMEDIOS DE LOSTRES EJEMPLOS.

EJERCICIOS
1.- Resolver los siguientes sistemas:
a)

3x
2x

y 7
3y 1

2x 3y 7
b)
2 x 2y 4

5 x y 12
c)
x y 3

2x
d)

1
2

y

3x 4y

0
19
2

2.- Dos amigos fueron de visita a una granja en la que había pavos y corderos. Al salir uno de
ellos le pregunto al otro: “¿Cuántos pavos y corderos había? Averígualo, vi 72 ojos y 122
patas”.
3.- En un...