litografias

F
í
s
i
c
a

OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE

A
p
l
i
c
a
d
a
U
C
L
M

040229

1

Ley de Hooke
Caracterización del Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Velocidad y aceleración en el M.A.S.
Ejemplos. Resortes en posición horizontal y vertical
Péndulo simple
Péndulo físico
Energía en el movimiento armónico
Movimiento armónico amortiguado
2

F
í
s
i
c
a
A
p
l
ic
a
d
a
U
C
L
M

Ley de Hooke
F = − kx

2ª ley de Newton:

F
í
s
i
c
a

F = ma
L
x = L-L0
L0

x

ma
F

A
p
l
i
c
a
d
a

d 2x
− kx = m 2
dt

d 2x k
+ x=0
2
m
dt

Ecuación diferencial de 2º orden: solución de la forma

x(t ) = A cos(ωt + δ )
3

U
C
L
M

Caracterización del M.A.S.
Solución de la ecuación:

d 2x
2
+
ω
x=0
2
dtd 2x k
+ x=0
2
m
dt

Constantes

A, δ

F
í
s
i
c
a

Amplitud

A
p
l
i
c
a
d
a

Fase inicial

Fase

x(t ) = A cos(ωt + δ )

Frecuencia angular
2π
ω=
T
Periodo (s)

ω=

k
m

(rad/s)

U
C
L
M

1
f =
T
Frecuencia (Hz)

4

Comprobación de la forma armónica de la solución

Por derivación de x(t ) = A cos(ωt + δ ) y sustitución en

Derivadaprimera:

dx
= − Aω sen(ωt + δ )
dt

Derivada segunda:

d 2x
2
2
=
−
A
ω
cos(
ω
t
+
δ
)
=
−
ω
x
2
dt

k⎞
⎛
2
⎜−ω + ⎟ = 0
m⎠
⎝

k⎞
⎛
2
⎜ − ω + ⎟x = 0
m⎠
⎝

d 2x k
+ x=0
2
m
dt

−ω 2x +

F
í
s
i
c
a
A
p
l
i
c
a
d
a

k
x=0
m

U
C
L
M

k
d 2x k
2
si
ω
=
x(t ) = A cos(ωt + δ ) es solución de
+
x
=
0
m
dt 2 m
5

y= A cos(ωt )

ωt = 0

ωt = 4π

ωt = 2π

ωt =

π

ωt =

2

F
í
s
i
c
a

5π
2

A

t=T
A

ωt =

ωt = π

3π
2

ωt

ωt =

7π
2

A
p
l
i
c
a
d
a
U
C
L
M

ωt = 3π
6

y = A cos(ωt + δ )

δ >0

ωt + δ = 4π

ωt + δ = 2π

ωt + δ =

π

ωt + δ =

2

F
í
s
i
c
a

5π
2

cos(δ )

A

t=T

A
p
l
i
c
a
d
a

t=T
Aωt + δ =

ωt + δ = π

3π
2

ωt

ωt + δ =

7π
2

U
C
L
M

ωt + δ = 3π
7

y = A cos(ωt − δ )

δ >0

ωt − δ = 4π

ωt − δ = 2π

ωt − δ = 0

ωt − δ =

π

ωt − δ =

2

F
í
s
i
c
a

5π
2

A

A
p
l
i
c
a
d
a

cos( −δ )

t=T

t=T
A

ωt − δ =

ωt − δ = π

ωt

3π
2

ωt − δ =

7π
2

U
C
L
M

ωt − δ = 3π
8

ResumenF
í
s
i
c
a

y = cos(ωt )

A
p
l
i
c
a
d
a

y = cos(ωt + δ )

Adelanta
y = cos(ωt − δ )

Atrasa

U
C
L
M

ωt
9

Velocidad y aceleración en el M.A.S.

dx(t )
= − Aω sen(ωt + δ )
dt

Velocidad

x& =

Aceleración

d 2 x(t )
&x& =
= − Aω 2 cos(ωt + δ ) = −ω 2 ⋅ x(t )
2
dt

x(t ) = A cos(ωt + δ )

x= A
x=0
x=0

Aceleración nula

Velocidadnula
Aceleración máxima

F
í
s
i
c
a
A
p
l
i
c
a
d
a
U
C
L
M

Velocidad máxima
10

Ejemplo. Resorte en posición horizontal.
Un resorte ideal de constante elástica 20 N/m sujeta un bloque de masa 312.5 g sobre
una superficie horizontal sin rozamiento. El resorte se estira 8 cm, se suelta y la masa
oscila libremente alrededor de la posición de equilibrio. Se pide:
a)Ecuación del movimiento armónico simple resultante y periodo de las oscilaciones.
b) Aceleración del bloque cuando se encuentra en un extremo, y velocidad cuando
pasa por la posición de equilibrio.
c) Velocidad y aceleración del bloque cuando ha transcurrido 1 s.
A = 0.08 m
x(t ) = A ⋅ cos(ωt + δ )

ω=

k
20
=
= 8 rad/s
m
0.3125

T=

2π

ω

=

2π π
= s = 0.785 s
8
4

x(t )= A ⋅ cos(ωt + δ )
x(0) = A ⋅ cos(0 + δ ) = A

cos δ = 1

cos δ = ±2nπ

x(t ) = A ⋅ cos ωt = 0.08 ⋅ cos 8t (unidades S.I.)

F
í
s
i
c
a
A
p
l
i
c
a
d
a
U
C
L
M

(n = 0,1,2...)

11

x=0
L0

Sistema en reposo

Resorte extendido:
inicio de la oscilación

L

-k·A

L0

F
í
s
i
c
a

d 2x
&x& = 2 = −ω 2 ⋅ x
dt

&x&( x = A) = −ω 2 ⋅ A = −82 ⋅...