Livro Ecuaciones Diferenciales

Contenidos
1 Introducci´n
o

3

1.1

Ca´ Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıda

3

1.2

Nociones B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

4

2 EDs de orden 1

9

2.1

EDs Directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

EDs de Variables Sepables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

11

2.3

EDs Homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

13

2.4

EDs Reducibles a Homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

15

2.5

EDs Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.6

Factores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.7

ED Lineal . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.8

ED de Bernoulli

...........................

23

2.9

EDs con variable ausente: reducci´n de orden . . . . . . . . . . .
o

24

2.10 Teorema de Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.11 Aplicaciones de las EDs de orden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.11.1 Trayectorias Ortogonales..................

28

2.11.2 Desintegraci´n Radioactiva . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

29

2.11.3 Ley de Enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.11.4 Leyes de Movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . . .

31

2.11.5 Mezclas y Reacciones Qu´
ımicas . . . . . . . . . . . . . . .

33

3 EDs Lineales de orden n > 1

37

3.1

El M´todo delWronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

41

3.2

F´rmula de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

43

1

2

CONTENIDOS
3.3

Ra´
ıces Reales Distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3.2

Ra´
ıces Reales Repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3.3

Ra´
ıces Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

48

ED Lineales no Homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

50

3.4.1

Variaci´n de Par´metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a

50

3.4.2
3.5

44

3.3.1

3.4

ED Lineales con Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . .

Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Ecuaci´n de Euler . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
o

50

4 Sistemas de EDs Lineales

51

4.1

Sistemas de orden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.2

Sistemas de EDLs de orden 1 y C.C. . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Cap´
ıtulo 1

Introducci´n
o
1.1

Ca´ Libre
ıda

Suponga que usted desea averiguar la altura de un edificio. Para ello deja caer
un objetodesde lo alto del edificio y anota el tiempo que este tarda en golpear
el suelo. Si el objeto tard´ 5 s en golpear el suleo, ¿Como puedo conocer la
o
altura del edificio?
Tenemos la esperanza que la altura de un edificio pueda ser determinada
a partir del tiempo que tarda un objeto en caer desde lo m´s alto del mismo.
a
Empecemos entonces, por definir una funci´n s(t) que represente la alturade
o
un edificio del cual un objeto tarda t ≥ 0 segundos en caer al suelo desde lo m´s
a
alto del mismo. As´ la altura de nuestro edificio estar´ dada por s(5).
ı,
ıa
Note que no conocemos mucho acerca de esta funci´n. Algo que recordamos
o
del c´lculo es la interpretaci´n de sus derivadas:
a
o
s (t)
s (t)

= v (t) : velocidad
= a(t) : aceleraci´n
o

Parece que no hemos ganadomucha informaci´n. Sin embargo, como el
o
objeto est´ cayendo gracias a la fuerza (aceleraci´n) de la gravedad, tenemos
a
o
que s (t) = a(t) = g , una constante1 !! Integrando esta expresi´n:
o
t

t

s (u) du
0

=

g du
0

⇒ s (t) − s (0)

= gt

Usando el hecho que s (0) = 0 (pues el objeto es dejado caer) obtenemos:
1 En

el SI, g ≈ 9, 81m/s2

3

´
CAP´
ITULO 1....