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ALETA PIRAMIDAL


La aleta piramidal es de interés práctico en virtud de que se aproxima mucho a la forma que proporciona el máximo flujo de calor por unidad de peso. El análisis se basará en elancho b y se supondrá que la temperatura es solamente una función de x. Un balance de calor para una sección diferencial de la aleta entre x y x+dx conduce a



Mientras que A y P son constantespara una barra, ambas son funciones de x para la aleta piramidal. Desarrollando la derivada con respecto a x, la ecuación anterior se convierte en



Notar que dicha ecuación es una ecuacióndiferencial lineal de segundo orden con coeficientes variables. Los coeficientes kA(x), k[dA(x)/dx] y P(x) son variables debido a que sus valores dependen de los de la variable independiente x.

Estaecuación puede escribirse en una forma más conveniente dividiéndola entre kA para obtener:



Si se desprecia el efecto de los lados, entonces P2b, y el área de la sección transversal de la aletapuede obtenerse observando que el espesor de la aleta en cualquier punto x es igual a t(x/L) por lo que A = (bt/L)x. Sustituyendo esta expresión para A en la ecuación anterior, se encuentra que:Esta ecuación se asemeja a una ecuación modificada de Bessel, cuya forma general para cualquier valor de n es



Las soluciones de este tipo de ecuaciones han sido desarrolladas y están tabuladasde manera parecida a las funciones seno y coseno. Por lo tanto, se transformará la ecuación de la aleta a la ecuación modificada de Bessel a fin de aprovechar la solución disponible. Por conveniencia,consideraremos que B2 representa a la constante 2L/kt y que y = (T - T). Multiplicando la ecuación de la aleta por x2 , se obtiene:



Esta ecuación tiene casi la forma deseada para n = 0,excepto por el coeficiente –B2x en el último término. Por lo tanto, trataremos de determinar una variable relacionada con x que modifique este término. De una manera u otra si tal variable existe, se...