Llano En Llamas

INTRODUCCION

Las integrales de línea de campos escalares a lo largo de una curva seccionalmente regular con respecto a la longitud de arco llamadas también integrales curvilínea de primera especie o genero y las integrales de línea de campos vectoriales a lo largo de una curva seccionalmente regular llamada también integral curvilínea de segundo genero o especie.
Para ello es necesariotener en cuenta los conceptos de campo escalar, campo vectorial, derivada y la diferencial de un campo escalar y campo vectorial, el operador Nabla, gradiente de un campo escalar, divergencia, rotacional de un campo vectorial y las propiedades referentes al cálculo vectorial. Asimismo la parametrizacion de una curva en R2 y R3 , curva regular, longitud de arco, parametrizacion de una curva entérminos de longitud.
El apartado de funciones complejas se han presentado las funciones básicas más importantes y se han estudiado sus propiedades. En particular, las funciones complejas exponencial y trigonométricas, que son de gran aplicación en la modelización en ingeniería.
En el apartado de derivación e integración compleja se ha revisado la manera en la que estos importantes conceptos delanálisis matemático real se generalizan al caso de las funciones complejas.

7.5 INTEGRALES DE LÍNEAS

En los capítulos 6 y 7 tratamos integrales de funciones escalares sobre regiones de R2 o regiones de R3 , ahora trataremos integrales de funciones escalares y funciones vectoriales sobre curvas. Integrales de línea surgen a menudo en los cálculos en el electromagnetismo. The evaluation Laevaluación de tales integrales puede hacerse sin error si ciertas reglas simples se siguen. This rules will be illustrated in the following. Estas reglas se ilustra en el siguiente

3.4. Integral de línea
El concepto de integral definida no es tan fácilmente generalizable. Recordemos que en el caso real la integral definida realabf(x)dxse obtiene integrando en un intervalo de números reales[a,b].En el plano complejo hay diferentes trayectorias de aproximación entre dos puntos, y el concepto equivalente al de intervalo de integración es el de un arco de curva de trayectoria de integraciónC.

La curva de trayectoria de integraciónC a menudo se puede representar con una función de variable real que depende de un parámetro:C : z(t) = x(t) + iy(t)ambt,a,b ,a <t <b.
Se dice queC esuna curva suave si su derivada
z'(t) = dzdt = dxdt + idydt es continua.

PPor ejemplo, en la figura 19 la trayectoriaC1no es una curva suave porque hay un punto (7 + 2i) en el que no es derivable; en cambio, las otras dos sí que son curvas suaves. La expresión paramétrica de la curvaC2 (un segmento de recta) es la siguiente:
z(t) = (2+2i)+t·[(7+5i)-(2+2i)] = 2+5t+i·(2+3t),ambt ,0 <t <1.Para introducir el concepto de integral de línea, que es la generalización de integral definida real al caso de funciones complejas, supongamos quef(z) es una función compleja continua definida en cada punto de una trayectoria correspondiente a una curva suaveC : z(t) = x(t) + iy(t),a <t <b.
A la partición ennpartes del intervalo[a,b]de números reales
t0 = a,t1,...,tk-1,tk,...,tn = b
lecorresponde en la curvaCuna subdivisión que viene dada por la partición
z0 = z(t0),...,zn = z(tn).
En cada subdivisión deCse toma un puntowkentre zk-1 yzk (para cadak = 1,..,n). Observad la figura 20.

Figura 20: Partición de la trayectoria de integración
Ahora se define la suma:Sn=k=1nf(wk)·(zkzk1)
El límite de las sumas anteriores, cuando el número de subdivisiones de la curvaC crece haciainfinito
limnSn=Cf(z)dz
se llama integral de línea (o simplemente integral definida) def(z)sobre la curva trayectoria de integraciónC.
Propiedades básicas de la integración compleja:
* La integración es lineal:
C(f(z)+g(z))dz=Cf(z)dz+Cg(z)dz.
* La trayectoria de integración se puede descomponer:
Cf(z)dz =C1f(z)dz +C2f(z)dzconC1 yC2 subdivisiones deC.
* La trayectoria de...