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COMUNICACIONES - ANO 2013
Pr´ctica 1: Correlaci´n y Densidad Espectral de Potencia.
a
o
Ergodicidad. Ancho de Banda de Ruido.
1. Repaso de Se˜ ales y Sistemas
n
a) Dadas las siguientes se˜ales determine si son de energ´ o de potencia. Calcule su valor medio, su
n
ıa
funci´n de autocorrelaci´n y su densidad espectral de energ´ o de potencia seg´n corresponda.
o
o
ıa
u
i. x(t) =sen(20πt) + j cos(40πt)
ii. x(t) = ⊓ (t/5)
iii. x(t) = u(t) (escal´n unitario)
o
∞
∞
1
2
(note que cos(2πt2 )dt = sen(2πt2 )dt = , integrales de Fresnel)
iv. x(t) = e−j2πt
4
0
0
b) Considere el PA dado por X(t) = A cos(2πf0 t) + B sen(2πf0 t) con A y B dos VA no correlacionadas
y f0 constante no nula. ¿Qu´ condici´n deben cumplir E {A}, E {B}, E {A2 }, E {B 2 } y E {AB} para
e
oque X(t) sea ESA? Calcule en este caso la DEP de X(t).
c) Escriba la desigualdad de Cauchy-Schwarz para se˜ales determin´
n
ısticas de energ´ y de potencia x(t)
ıa
e y(t), y para se˜ales aleatorias ESA X(t) e Y (t).
n
d) Considere un SLIT estable con respuesta impulsional h(t), entrada x(t) de energ´ y salida y(t).
ıa
i. Demuestre que ryx (τ ) = {h ∗ rxx }(τ ) y rxy (τ ) = {h− ∗ rxx }(τ ),con h− (t) = h(−t).
ii. Demuestre que ryy (τ ) = {rhh ∗ rxx }(τ ).
Note que i. y ii. son v´lidos para se˜ales de potencia utilizando la correlaci´n correspondiente.
a
n
o
e) Considere ahora que el PAESA X(t) es la entrada al SLIT e Y (t) su salida.
i. Halle una expresi´n del valor medio de la salida < Y (t) > en funci´n de < X(t) >.
o
o
ii. Halle una expresi´n de la esperanza de lasalida E {Y (t)} en funci´n de E {X(t)}.
o
o
iii. Suponga ahora que X(t) es erg´dico en media ¿Es Y (t) erg´dico en media?
o
o
f ) Sea X(t) un PAESA con distribuci´n uniforme en [-3,3]. ¿Cu´les de las siguientes pueden ser funo
a
ciones de autocorrelaci´n de X(t)? En caso de poder serlo calcule la DEP de X(t).
o
ii. RXX (τ ) = 3 ⊓ (τ )
iii. RXX (τ ) = 3 ∧ (τ )
i. RXX (τ ) = 3
iv. RXX (τ )= 3 sinc(τ )

v. RXX (τ ) = 3 sen2 (τ )

vii. RXX (τ ) = 3 cos(πτ )
viii. RXX (τ ) = 2 cos(5πτ )
¿En qu´ casos de los anteriores es X(t) erg´dico en media?
e
o

vi. RXX (τ ) = 3 sinc2 (τ )
ix. RXX (τ ) = 1 + 2 e−|τ |

g) Un PA X(t) con media nula y RXX (τ ) = N0 δ(τ ) (ruido blanco) es muestreado cada T segundos
2
previo paso por el filtro anti-replicado correspondiente. Demuestreque la secuencia obtenida X[n]
tiene media nula y autocorrelaci´n RXX [m] = N0 δ[m] (o sea, es blanca).
o
2T
2. DEP por definici´n
o
a) Sea X(t) = A cos(ω0 t + θ), con ω0 y A ctes. y θ ∼ U[−π/4, π/4].
i. Calcule la potencia instant´nea del proceso, PXX (t) = E {|X(t)|2 }. ¿Es el resultado coherente
a
con la estacionareidad de este PA? ¿C´mo deber´ ser este valor si el proceso fuera ESA?
oıa
ii. Calcule la potencia media del PA, P XX , como el valor medio (temporal) de PXX (t).
iii. Calcule la TF de la versi´n truncada de X(t) al intervalo [−T, T ], F{XT (t)}, y con ella, la
o
densidad espectral de energ´ del proceso truncado, E {|F{XT (t)}|2 }.
ıa
iv. Dividiendo por 2T y tomado el l´
ımite para T → ∞, obtenga la densidad espectral de potencia de
X(t), SXX (f ), pordefinici´n. Recuerde que l´ T sinc(T f )“ = ” l´ T sinc2 (T f )“ = ”δ(f ).
o
ım
ım
T →∞

T →∞

v. Calcule el promedio temporal de RXX (t + τ, t) (con respecto a t). Luego obtenga su TF y
verifique que coincide con SXX (f ). ¿Cu´nto vale la integral de SXX en todo el espectro?
a

b) Mediante un procedimiento similar calcule la DEP la secuencia aleatoria X[n] = A donde A es una
VA con distribuci´nuniforme en [-1,1]. ¿Es X[n] erg´dica en media?
o
o
sen N πs
1 sen2 N πs
En este caso deber´ utilizar que l´
a
ım
“ = ” l´
ım
“ = ” ↑↑↑(s)
N →∞ sen πs
N →∞ N sen2 πs
3. Ergodicidad en la Correlaci´n
o
En este ejercicio probaremos que los PA discretos obtenidos por filtrado de secuencias de ruido blanco
son erg´dicos en correlaci´n. Para ello consideremos dos secuencia...