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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO “LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA”
BARQUISIMETO – ESTADO LARA

LIMITES
Participantes:
José Torralba C.I.Nº 25.563.386
Yonathan Silva C.I.Nº 25.526.076
Carlos Rodríguez C.I.Nº 18.526.175
Yeferson Vega C.I.Nº 22.263.829

Barquisimeto, 2014

LIMITE
Límite por Aproximación…
A veces algo no se puedecalcular directamente... ¡pero
puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas
acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una
función.
El limite de una función f(X) es el valor L, al cual se aproxima
a la función a medida que la variable X toma valores cada vez
mas cercano a “a”.
Escribimos:
Lim f(x) =L
X a

Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (X2-1) cuando X=1?
(X-1)
Sustituimosvalores y resolvemos
 
Lim
X 1

(12-1)= (1-1)=
(1-1)
(1-1)

0
0

¡Pero 0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos
0
calcular su valor.
En lugar de calcular con X = 1 vamos a acercarnos poco a poco
a los valores cada vez mas cercanos en dos procedimientos
por la izquierda y por la derecha.

Empezaremos por la izquierda
X

Y

0,9

1,9

0

0,9

0,99

1

0,99 1,99

Se procederá a sustituir losvalores de X (en este
caso serán dos numero cércanos al 1 entre los que tenemos al 0,9
y 0,99 ya que son los valores que se acercan por la izquierda, si lo
desean pueden llevar estas cifra a mas de dos números después
de la coma) y luego resolvemos
Lim
X 0,9
Lim
X 0,99

(x2-1) = (02,9) -1 = 0,81-1 = -0,19 = 1,9
(x-1)
(0,9)-1
0,9 -1
-0,1
(x2-1) = (02,99) -1 = 0,9801-1 = -0,0199 = 1,99
(x-1)(0,99)-1
0,99 -1
-0,01

Los resultados obtenidos en estos procedimientos serán el valor de
“Y”

Ahora proseguimos por la derecha
X

Y

1,1

2,1

1,01 2,01

1 1,01

1,1

2

Nuevamente se sustituyen los valores de X (ahora serán
1,1 y1,01, ya que son los valores que se acercan
por la derecha) y luego resolvemos
Lim
(X2-1) = ((12),1) -1 = 1,21-1 = 0,21 = 2,1
X 1,1 (X-1)
(1,1)-1
1,1 -1
0,1
Lim
X 1,01

(x2-1)= ((1)2,01) -1 = 1,0201-1 = 0,0201 = 2,01
(x-1)
(1,01)-1
1,01 -1
0,01

Los resultados obtenidos en estos procedimientos serán el valor de
“Y”

Vemos que cuando X se acerca a 1, (X2-1) se acerca a 2,
decimos que:
(X-1)
El límite de (X2-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2.
(X-1)
Y con símbolos se escribe:
Lim
(X2-1) = 2
X 1 (X-1)

2) Ejemplo
Calcular:
Lim
X 3

2X²-6X = 2(3)²-6(3)= 18-18 =0 (INDERTEMINADO)
X²-2X-3 (3)²-(2)-3 7-6-3 0

Por la izquierda:
X
Y
2,9 1,49
2,99 1,50
Lim
X 2,9

2

2,9

2,99

3

2(2,9)² -6(2,9) =16,88 - 17,9= -0,58 =1,48717
(2,9)²-2(2,9)-3 38,41-5,8-3 -0,39

Lim
2(2,99)² -6(2,99) = 17,88-17,94 = -0,06 = 1,50375
X 2,99 (2,99)²-2(2,99)-3 8,99-5,98-3 -0,0399

Ahora procederemos a calcular por la derecha
X

Y

3,1

1,51

3,01

1,50

3 3,01 3,1

Lim
2(3,1)²-6(3,1) =19,22 – 18,6 = -0,62 = 1,5121
X 3,1 (3,1)²-2(3,1)- 3 9,61-6,2-3
-0,41
Lim
X 3,01

2(3,01)² -6(3,01) = 18.12-54,36 = -0,0602 = 1,5012
(3,01)²-2(3,01)- 3 9,06-6,01-3 -0,0401

Luego:
Lim 2X²-6X = 1,50
X 3 X²-2X-3

4

3) Ejemplo:
Calcular:
Lim:
X 2

2X²-X-1 = 2(2)²-(2)-1 = 8-2-1 = 1
X²-x
(2)²-(2)
4-2 2

En este ejemplo obtuvimos un 1 lo que significa que ya a
terminado.
2
NOTA: Cuando elejercicio nos de un resultado diferente a 0
habrá terminado.

Limite por Teorema:
1) Ejemplo:
Calcular los siguientes límites:
a)

Lim X²+6
X 2 X²-3

Se procederá a hacer el mismo procedimiento que el de
aproximación.
Sustituimos el valor X por el limite que nos den en este caso es el 2.
(2)²+6 =
(2)²-3

10
1

Como en este caso nos da un número determinado proseguiremos
con el siguiente ejemplo.

b)Lim
X ½

2X²-5x+2 = 2(½)²-5(½) = 0
2X²-x-1
2(½)²-(½)-1 0

NOTA: Cuando el limite es de la forma 0 se procede a factorizar
0
(ó a racionalizar) para luego simplificar y evaluar nuevamente
Factorizando:
Empezamos por el numerador
2X²-5x+2
Se colocaran los números en el mismo orden con sus respectivos
signos.

½

2 -5 2
1 -2
2 -4 0

Luego se procederá a colocar el valor de X (en este caso ½), y se...