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6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de lapotencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con laderivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que esimpuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,
h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)
Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,

La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras,para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,
d(5x4)/dx = 5[d(x4)/dx]
= 5(4x4−1)
= 5(4x3)
= 204x3
El ejemplo anterior pone de manifiesto que el uso de la propiedad hace el problema mucho más simple de resolver.
Importancia de las derivadas
Las derivadas son unas funciones matemáticas que, a partir del siglo XVII, gracias a los estudios de Isaac Newton yLeibniz, dieron solución al cálculo infinitesimal, que se había empezado a estudiar en la Grecia clásica, más o menos en siglo III a. C. Cada uno de estos dos autores crearon un sistema de cálculo propio. La importancia de las derivadas está en que, hoy día, no es posible entender el mundo en que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoría de los cálculos científicos y en casi todo lo que nosrodea. A lo largo de los siglos, otros matemáticos y científicos han aportado muchísimos estudios para mejorar y hacer más exactos los cálculos.

Aunque no es un elemento tangible, su valor radica en que, desde el punto de vista científico, se aplica a numerosas investigaciones importantísimas y de las que sus aplicaciones revierten en la propia sociedad. Así, las derivadas son esenciales paraestudios tan importantes como el de la relatividad, la mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las probabilidades, sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc. Actualmente también son necesarios en la computación, etc.
Para los que no son expertos en la materia, ni matemáticos, ni científicos, es probable que las derivadas sean una zona de estudio bastantedesconocida, un sinsentido o algo muy complicado. Sin embargo, para las personas que dedican su vida a la investigación, las matemáticas o las ciencias, es una parte esencial de conocimiento para poder llegar a entender y conocer muchos de los misterios, desde el punto de vista de nuestra realidad como seres humanos y como habitantes de un planeta y de un punto del espacio.
Las derivadas aportaninformación concreta, directa y científica a los expertos y, con esos resultados, interpretan y son capaces de ofrecer información acerca de nuestra propia existencia y también utilizarlas para aplicarlas en cosas tan habituales como el vuelo de un avión, el movimiento de un coche, la construcción de un edificio, de un contenedor o de muchos otros elementos que para nosotros son normales y que, sin...