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FUNCIONES CONTINUAS.
La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad.
La continuidad de una funcióndefinida en un intervalo significa que pequeñas variaciones en el original x ocasionan pequeñas variaciones en la imagen y y no un salto brusco de su valor.
Intuitivamente esto significa una variaciónsuave de la función sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.
Una función es continua en un punto x = a si existe límite de la función en él ycoincide con el valor que toma la función en dicho punto, es decir:
fescontinuaenxalimfxfaxa =⇔=→()()
La continuidad de una función f en el punto x = a implica que se cumplan las tres condicionessiguientes:
1. Existe el límite de la función f(x) en x = a.
2. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a)
3. Los dos valores anteriores coinciden.
Por tanto, una función puede dejar deser continua en un punto por no cumplir alguna de estas tres condiciones. En este caso (si no se cumple alguna de las condiciones) diremos que la función es discontinua en dicho punto. En caso de queno se cumpla la segunda condición, la función no estaría definida en el punto x = a y no podríamos hablar ni de continuidad ni discontinuidad en dicho punto.
axf=en definida está no axf=en límitetieneno )()(límafxfax≠→
FUNCIONES CONTINUAS 41

Ejemplos:
•
La función fxxx()=+−22 ¿es continua en el punto x = 3?
Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:
1.limfxlimxxxx→→=+−=+−=332232325 ()
2. f()332325=+−=
3. lim fxfx→=33 ()()
Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3.
•
Dada la función fxxxx−−21, estudiar la continuidad de dicha función en x = 1.
Veamos si se cumplen lascondiciones necesarias:
1. limxxxlimxxxxlimxxxxx→→→−−=+⋅−⋅−=+=+=12211111111112()()()
2. f()1111122=−−⇒ no existe, pues se anula el denominador.
3.
El no son iguales porque f(1) no existe...