Lo Nuevo Del Raguueton

4.5 regla de la cadena


En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Si “y” es una función de u, y= f(u), y DuY existe y si “u” es una función de “x”, u= g(x) y Dxu existe, entonces “y” es una función de “x” donde DxY existe y sedefine por:


DxY= DuY Dxu
En esta expresión:
DxY indica la derivada de y respecto a x
DuY indica la derivada de y respecto a u
Dxu indica la derivada de u respecto a x




Descripciones de la regla

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a xpuede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si [pic] es diferenciable en [pic] y [pic] es una función diferenciable en [pic], entonces la función compuesta [pic] es diferenciableen [pic] y

[pic]
Notación de Leibniz
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

[pic]
donde [pic] indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de cadena

Sea

[pic]
Esto es entonces

[pic]
Aplicando la definición de derivada se tiene

[pic]
Dondequeda

[pic]
Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre [pic]

[pic]
[pic]
[pic]





Ejemplo
1. En la función y = ( 2x3 – 3x2 +7 )2
Si hacemos 2x3 – 3x2 + 7 = u donde u es una nueva variable llamada variable intermedia, se tiene que:

Y=f(u)=u2
Y:
U=g(x)=2x3 – 3x2 + 7
Es decir:
Y=f(g(x))

Y es una función compuesta ya que setrata de una función defunción.

Aplicando la regla de la cadena a esta función se tiene que:

DxY=DuY Dxu=2u(6x2 – 6x)

Por tanto:


DxY=DuY Dxu=2(2x3 – 3x2 + 7)(6x2 – 6x)
Esto significa que la derivada de la potencia de una función es igual al producto del exponente por la función elevada al exponente disminuido en uno y por la derivada de la función.

2. Dada y=(2x3 – 3x2 + 7)hallar DxY

Solución:

Considerando y como una función de u, donde u es una función de x, se tiene que:

Y= u5 donde u= 2x3 – 3x2 + 7

Aplicando la regla de la cadena se tiene que:

DxY=DuY Dxu=5u4(6x2 – 6x)

=5(2x3 – 3x2 + 7)4 (6x2 – 6x)}



3. Dada f(x)=( 1 – 2x )4 encontrar f1 (x)
1 + 3x
Solución:
Aplicando la regla de la cadena se tieneque:

F1(x)= 4(1 – 2x)3 (1 + 3x)(-2)-(1-2x)(3)
1 + 3x (1 + 3x)2

=4( 1 - 2x )3 - 2 – 6x – 3 + 6x
1 + 3x (1 + 3x)2

= 4( 1 – 2x )3 - 5 .
1 + 3x (1 + 3x)2= -20( 1 – 2x)3
(1 + 3x )5

4. Dada f(x)= (x2 – 1)3 (2x + 3)2 encontrar f1(x)
Solución:

Considerando f como el producto de dos funciones g y h, donde:

G(x)= (x2 – 1)3 y h(x)= (2x + 3)2

Y utilizando la formula para el producto de dos funciones:

F1(x)= g(x)h1(x) + h(x)g1(x)

Donde g1(x) yh1(x) se obtienen por la regla de la cadena

Entonces:
F1(x)= (x2 – 1)3 [2(2x + 3)(2)] + (2x + 3)2 [3(x2 – 1)2(2x)]

Simplificando:
F1(x)= (x2 – 1)3 (4)(2x + 3) + (2x+ 3)2 6x(x2 – 1)2
Sacando factor común:
F1(x)= (x2 – 1)2 (2x + 3)[(x2 – 1)(4) + (2x + 3)(6x)]

Efectuando operaciones:
F1(x)= (x2 – 1)2 (2x + 3)(4x2 – 4 + 12x2 + 18x)

Simplicacion:
F1(x)= (x2 – 1)2 (2x + 3)(16x2 +...