Lo que pasa




El Método de los Mínimos Cuadrados se aplica para obtener un polinomio de interpolación de un conjunto de puntos, dicho polinomio no pasa por todos puntos pero se es una curva suave que pasalo más cerca posible de todos ellos.
Antes de aplicar este criterio, debe escogerse la forma de la curva suave que se va ajustar al conjunto de puntos dados, esto es posible al graficar los puntosdados. Poe ejemplo si la tendencia de los puntos es a una recta, se obtiene el polinomio de una recta, si la tendencia de los puntos es una parábola se obtiene el polinomio de una parábola.
El Métodode Mínimos Cuadrados se puede obtener un polinomio de cualquier grado, pero en general se utiliza el polinomio de una recta que en muchos libros se le llama regresión lineal, y también se usa elpolinomio de una parábola.

2. Algoritmo

Se tiene un conjunto de puntos
Tabla 1 Datos Discretos
No.
X
Y
1
2
3

n
x1
x2
...
xn

y1
y2
...
yn


Se va a obtener el polinomio deinterpolación

(1)
Al sustituir para un punto xi
(2)

En la gráfica 1 se presentan los datos de los puntos (Tabla 1) y la curva suave que se acerca a la mayoría de los puntos.



Grafica 1Puntos y polinomio de interpolación

Se llama residuo Ri a la diferencia de las ordenadas de la curva para x=xi menos la del punto (xi , yi) esto es

Ri = p(xi) – yi (2)

Al sustituir la ec. 2en la ec. 3 se tiene

Ri = - yi i=1,…, n (4)

El método de los mínimos cuadrados consiste en determinar los valores de los coeficientes del polinomio

a0, a1, a2, a3, … , ande forma que sea mínima la suma de los cuadrados de los residuos .

Se suma el residuo de cada punto, esto es



Al sustituir la ec. (4) en la ec, (5)



Al derivar la ec. 6 conrespecto aj para j=0, 1, 2, … , m



La derivada parcial puede entrar a la sumatoria



Al efectuar la derivada y se iguala a cero




Al efectuar operaciones







El valor de 2...