lo que sea

FUNCIÓN GAMMA
La definición de Euler de la función gamma, es
r(x) = jr tx-‘e-’ dt.

(1)

Para que la integral converja se requiere que x - 1 > -1, o x > 0. La relacion de recurrencia
T(x + 1)= XT(X),

(2)

(Sec. 6.4), se puede obtener de (1) con integración por partes. Cuando x = 1, r( 1) = j: eTt dt =
1 y la ecuación (2) da
r(2)= ir(i)= i
ry3)=2r(2)=2. i
r(4)=3r(3)=3 .2. ietcétera. Así pues, cuando n es un entero positivo,
r(n + i)=d.
Por este motivo, la función gamma suele denominarse función factorial generalizada.
Aunque la forma integral (1) no converge cuando x < 0,es posible demostrar, con defmiciones alternativas, que la función gamma está definida para todos los números reales y
complejos, excepto x = -n, n = 0, 1, 2, . . .; en consecuencia, la ecuación (2)sólo es válida,
cuando x # -n. Al considerarla como función de una variable real, x, la gráfica de I’(x)
corresponde a la figura 1.1. Obsérvese que los enteros no positivos corresponden a asíntotasverticales de la gráfica.
En los problemas 27 a 33 de los ejercicios 6.4 hemos aprovechado que I’(i) = & Este
resultado se puede obtener partiendo de (1) e igualando x = t:
r 3 = jy flnewf dt.
0Cuando sé define t = u2, la ecuación (3) se puede expresar en la forma I’(i) = 2 ame-‘* du. Pero

I

0

ewu2 du = jm eFU dv,
0

AP-1

AP-2 APÉNDICE I FUNCl6N GAMMA

w
i

t

lI

I
I

I
I

I

I

I

I

I

I

I
I
I
I
Ipy;.
l
I
I
I

I

I
I
I
I
I

I
I
I
I
I

I

X

I

I I
I l I I
I I I l I l
Ií-l/i
l
I l l
FIGURA

1.1y entonces

Al cambiar a coordenadas polares, u = r cos 8, w = r sen 8 permiten evaluar la integral doble:

Por

consiguiente,

0 sea

(4)

Valor de r(- i)

Evalúe r(- i).
SOLUCIÓNDe acuerdo con las ecuaciones (2) y (4), para x = - i,

r(i)=-+(-i}
Por lo tanto

r(-+)=-x(f)=-2G.

n

ApMice

Las respuestas a los problemas

1.

I Función gamma AI’-3

de número...