lo que sea

Elementos Básicos de
Probabilidad y Estadística

Javier Aparicio
División de Estudios Políticos, CIDE
javier.aparicio@cide.edu
Agosto 2010
http://www.cide.edu/investigadores/aparicio/metodos

Contenido
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Variables aleatorias (VA): X
Distribución de probabilidad
Valor esperado de una VA: E(X)
2


E
(
X


)
Varianza de una VA:
VA discretas ycontinuas
Covarianza y correlación
Muestreo y estimadores
Sesgo y eficiencia de los estimadores
Propiedades de los estimadores muestrales
Teorema del Límite Central
2

Un ejemplo de distribución de probabilidad: X es la suma de dos dados

rojo
verde

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

94

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

X

f

p

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1

1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36

Una variable aleatoria X se puede definir como la suma de los números
cuando se tiran dos dados. Se define f como las frecuenciasasociadas
asociadas a los posibles valores de X.
Finalmente se define p, como la probabilidad de ocurrencia de cada resultado, la
cual es 1/36.
3

Un ejemplo de distribución de probabilidad: X es la suma de dos dados

probabilidad

1
36

2

2
36

3
36

4
36

5
36

6
36

5
36

4
36

3
36

2
36

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

1
36

X

Estaes la distribución vista gráficamente. En este ejemplo es simétrica: más alta para X
igual a 7, y decreciente en ambos lados.
4

Valor esperado de una variable aleatoria

Definición de E(X), el valor esperado de X:
n

E ( X )  x1 p1  ...  x n pn  x i pi
i 1

Notación alternativa de E(X):
E(X) = μx

El valor esperado de una variable aleatoria, también conocida como la mediapoblacional,
es el promedio ponderado de sus valores posibles.
5

Valor esperado de una variable aleatoria

xi

pi

x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11

p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
p10
p11

xi pi

xi

pi

xi pi

x1 p1
2
1/36
2/36
x2 p2
3
2/36
6/36
x3 p3
4
3/36
12/36
x4 p4
5
4/36
20/36
x5 p5
6
5/36
30/36
x6 p6
7
6/36
42/36
x7 p7
85/36
40/36
x8 p8
9
4/36
36/36
x9 p9
10
3/36
30/36
x10 p10
11
2/36
22/36
x11 p11
12
1/36
12/36
Del ejemplo anterior, el valor
es 7, lo cual es obvio porque, como
vimos=en
 esperado
xi pi = E(X)
252/36
7 la
gráfica anterior, la distribución es simétrica en torno a 7.

6

Valor esperado de una función de una variable aleatoria

Definición de E[g(X)], el valor esperado deuna función de X:
n

E  g ( X )  g ( x1 ) p1  ...  g ( x n ) pn  g ( xi ) pi
i 1

Ejemplo:
n

E ( X )  x p1  ...  x pn  xi2 pi
2

2
1

2
n

i 1

Para encontrar el valor esperado de una función de una variable aleatoria, se calculan
todos los posibles valores de la función, ponderándolos por las probabilidades
correspondientes, y sumando el resultado.
7Valor esperado de una función de una variable aleatoria

xi

pi

x1
x2
x3
…
…
…
…
…
…
…
xn

p1
p2
p3
…
…
…
…
…
…
…
pn

g(xi)

g(xi ) pi

xi

pi

xi2

xi2 pi

g(x1) g(x1) p1
g(x2) g(x2) p2
g(x3) g(x3) p3
…... ……...
…... ……...
…... ……...
…... ……...
…... ……...
…... ……...
…... ……...
g(xn) g(xn) pn
  g(xi) pi

2

1/36

4

0.113

2/36

9

0.50

4

3/36

16

1.33

5

4/36

25

2.78

6

5/36

36

5.00

7

6/36

49

8.17

8

5/36

64

8.89

9

4/36

81

9.00

10

3/36

100

8.83

11

2/36

121

6.72

12

1/36

144

4.00
54.83

El valor esperado de X2 es la suma de sus valores ponderados en la columna final. Es el
valor promedio de de...