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Capítulo 5 Interpolación
5.1. Introducción
El problema matemático de la interpolación es el siguiente: Dada un conjunto de n pares de valores (xk , yk ), encontrar una función f (x) que cumpla f (xk ) = yk , k = 1, n. Existen diversos métodos para encontrar dicha función. Los más conocidos son los métodos que interpolan f (x) mediante un polinomio o una funcion racional (cociente de dospolinomios). En los últimos años. los métodos que utilizan funciones definidas a tramos (splines) han cobrado gran popularidad, justificada por su capacidad de reproducir formas complicadas y altamente variables. De hecho existe una activa investigación es splines. Vamos a estudiar en primer lugar la interpolación polinómica. En este caso, dados n puntos, el grado más bajo del polinomio que pasa por los npuntos es n − 1 (salvo que dos o más puntos pertenezcan a un polinomio de grado más bajo). El Teorema Fundamental del Algebra garantiza que este polinomio de grado n − 1 es único. Existen diversos métodos de determinar el polinomio interpolador, que dan por supuesto el mismo resultado. Unos métodos son más conveniente que otros, dependiendo del número de puntos en los que se desee conocer elpolinomio interpolador.

5.2. Método de interpolación de Lagrange
Este método consiste en construir el polinomio interpolador de grado n que pasa por n + 1 puntos (xi , yi ) de la forma Pn (x) = ∑ Li (x)yi
i=0 n

donde las funciones Li (x) cumplen Li (xk ) = 0 si i = k y Li (xi ) = 1. Esta propiedad garantiza Pn (xk ) = yk . Las funciones Li (x) se construyen como: Li (x) = (x − x1 )(x − x2 ) · ·· (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn ) (xi − x1 )(xi − x2 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )

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CAPÍTULO 5. INTERPOLACIÓN

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De su forma explícita, vemos que Li (xi ) = 1 y que Li (xk ) = 0 para i = k. Podemos escribir el polinomio interpolador de una función f (x) en los puntos x0 , x1 , . . . , xn de forma compacta como: Pn (x) =
n i=0

∑

f (xi )

n

j=0j=i

∏

(x − x j ) (xi − x j )

El método de Lagrange permite construir fácilmente de forma explícita, el polinomio interpolador. Dos de las interpolaciones más utilizados son las interpolaciones lineal y parabólica. Los correspondientes polinomios interpoladores son: Lineal x − x0 x − x1 P(x) = f1 + f0 x1 − x0 x0 − x1 Parabólica (x − x1 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) f0 +f1 + f2 (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 ) Sin embargo, cuando deseamos evaluar el polinomio interpolador en uno o varios puntos, el método de Lagrange no es conveniente ya que no da los coeficiente de cada grado, lo cual es necesario para aplicar el algoritmo de Horner. Sin embargo el método de Lagrange es fácil de entender, lo que justifica su valor pedagógico, y es deutilidad a la hora de elaborar un cierto número de demostraciones, como por ejemplo la fórmula del error cometido por el polinomio interpolador, que pasamos a demostrar a continuación. Un aspecto importante es la determinación del error del polinomio interpolador Pn (x) con respecto a la función interpolada f (x), en el intervalo [x0 , xn ]. Sea xs un punto arbitrario de este intervalo, en el quedeseamos estimar el error. Construimos la función P2 (x) = g(x) = f (x) − Pn (x) −
n

j=0

∏

(x − x j ) ( f (xs ) − Pn (xs )) (xs − x j )

que, por construcción, se anula en x0 , x1 , . . . xn y xs . Como g(x) tiene n + 2 ceros y por el teorema de Rolle la derivada g(1) (x) tiene n + 1 ceros, la derivada g(2) (x) tiene n ceros y así sucesivamente hasta la derivada g(n+1) que tiene almenos un cero. Sea α este cero. Derivando n + 1 veces la anterior igualdad y sustituyendo x = α obtenemos (la derivada n + 1 de Pn (x) es nula y la del polinomio de orden n + 1 del numerador del último término es (n + 1)!) g(n+1) (α) = 0 = f (n+1) (α) − con lo cual, concluimos que: f (xs ) = Pn (xs ) +
n

(n + 1)! ( f (xs ) − Pn (xs ) (xs − x j ) ∏ j=0
n

j=0

∏

(xs − x j )

f (n+1)...