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TALLER 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL
Alejandro Sánchez Yalí
Facultad de Ciencias Exactas, Universidad de Antioquia, Calle 67 N◦ 53-108, Bloque 4, Medellín, Colombia.
E-mail: alejandro.yali@hotmail.com.13 de abril de 2012.

1. Prueba las siguientes igualdades:
a) par+par=par
b) par+impar=impar
c) impar+impar=par
d) par× par=par
e) par× impar=par
f ) impar× impar=impar
2. Prueba lassiguientes implicaciones:
a) Si x es par entonces x2 es par.
b) Si x ∈ N entonces x2 + x es par.
c) Si x es impar entonces x2 es impar.
d) Si x es impar entonces x3 es impar.
e) ¿Es el recíproco de losenunciados anteriores verdadero?
3. Muestre que el conjunto de los irracionales no es cerrado con respecto a las operaciones
adición y multiplicación. ¿Lo es el conjunto de todos los primos?
4. Sin ∈ Z es múltiplo de 5 si y sólo si n2 es múltiplo de 5.
5. Generaliza el enunciado anterior para k ∈ Z.

/2

6. Para a ∈ R, el valor absoluto de a se escribe como |a| y se define como

a


|a| =
0



 −a

si a > 0
si a = 0

(0.1)

si a < 0

√
√
√
Ejemplo: | 3 − 3| = −( 3 − 3) = 3 − 3| Si x > 5, escribe símbolo de valor absoluto |5 − x|
y | − 4 − x2 |.
7. Sip, q ∈ Z son tales que p2 = 2q2 . Prueba que p y q son pares.
8. ¿Existen x ∈ R tal que x2 ∈ Q∗ y x4 ∈ Q?
9. Si n ∈ Z, n > 1, pruebe que n4 + 4 no es primo.
10. Muchos matemáticos han intentado,sin éxito, descubrir una fórmula que represente siempre un primo. COnsidera la igualdad p = n2 − n + 41, n ∈ Z. ¿Es siempre p un primo?
11. Prueba que los números siguentes son racionales.
¯
a) 0.5¯
b) 3.24
¯
c) 0.142
¯
La expresión a.b significa que parte decimal representada por b se represente indefinida¯
¯
mente. Sea x0.7, entonces 10x = 7.7 y así 9x = 7, x = 7 .
9
12. Prueba que elproducto de tres enteros consecutivos es múltiplo de 6.
13. Prueba que todo entero impar es de la forma 4k ± 1, k ∈ Z. ¿Es el recíproco verdadero?
14. Prueba qe no existe c ∈ Q tal que:
a) c2 =...