locuron

Departamento de Matemática Aplicada
Vitoria-Gasteiz
Matematika Aplikatua Saila

CÁLCULO
Grado en Ingeniería Mecánica
Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática
Grado en Ingeniería Química Industrial

TEORÍA
CURSO 2013-2014
Maite Alvarado
Enrique Esteban
Marisol Pinedo

CÁLCULO
(INDUSTRIALES)
Curso 13/14
PROGRAMA

Tema 1. Números reales y números complejos.
Tema2. Funciones reales de variable real: límites.
Tema 3. Funciones reales de variable real: continuidad y derivabilidad.
Tema 4. Estudio local de una función real de variable real.
Tema 5. Funciones reales de varias variables reales.
Tema 6. Cálculo integral de funciones de una variable.
Tema 7. Cálculo integral de funciones de varias variables.
Tema 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias.Tema 9. Transformada de Laplace.
Tema 10. Series de Fourier.

“No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda
aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real”. Nikolay Lobachevsky

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BIBLIOGRAFÍA TEORÍA
 DE BURGOS, J.”Cálculo Infinitesimal de una variable” y “Cálculo infinitesimal de
varias variables” Ed. Mc Graw-Hill.
 GRANERO, F. "Cálculo" Ed. Mc Graw-Hill.
LARSON-HOSTETLER “Cálculo y Geometría Analítica” Ed. Mc Graw-Hill.
 MARTÍNEZ SAGARZAZU. “Ecuaciones diferenciales y cálculo integral. Aplicaciones
y ejercicios”. Servicio Editorial Universidad del País Vasco.
 MARTÍNEZ SAGARZAZU.” Ekuazio diferentzialak. Aplikazioak eta ariketak”. Arg.
UPV eta UEU.
 MIJANGOS,E. Oinarri Matematikaok . Arg UPV-EHU.
 PISKUNOV. “Cálculo diferencial eintegral” Ed. Limusa.
 PISKUNOV. “Kalkulu diferentziala eta integrala” I eta II. Arg. UPV eta UEU.
 SAN MARTÍN, J Y OTROS."Métodos Matemáticos. Ampliación de Matemáticas para
Ciencias e Ingeniería" Thomson Editores.
 SIMMONS, F. “Ecuaciones diferenciales” Ed. Mc Graw-Hill.
 SPIVAK. “Calculus”. Ed. Reverté.

BIBLIOGRAFÍA PROBLEMAS
 AYRES “Cálculo diferencial e integral” y “Ecuacionesdiferenciales” Serie Schaum Ed.
Mc Graw-Hill.
 BERMAN “Problemas y ejercicios de Análisis Matemático” Ed. Mir.
 DEMIDOVICH “5000 problemas de Análisis Matemático”y “Problemas y ejercicios
de Análisis Matemático” Ed. Paraninfo.
 KISELIOV, KRASNOV, MAKARENKO. “Problemas de ecuaciones diferenciales” Ed.
Mir.
 MANTEROLA. “Ingeniaritzarako oinarri matematikoak. Ariketa ebatziak”. Arg.
Elhuyar
SPIEGEL. "Transformada de Laplace" Serie Schaum Ed. Mc Graw-Hill.
 TEBAR FLORES. “Problemas de Cálculo Infinitesimal” Tomos I y II. “909 problemas
de Cálculo Integral”. Tomo II. Ed. Tebar Flores.

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´
´
TEMA 1: NUMEROS REALES Y NUMEROS COMPLEJOS

´
1. INTRODUCCION: Extensiones del concepto de n´mero.
u

N´meros naturales : N = {0, 1, 2, ...} , N∗ = N − {0}
u
Operaciones internas* Suma : ∀a, b ∈ N, a + b ∈ N
* Producto: ∀a, b ∈ N, a.b ∈ N

N´meros enteros : Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} , Z∗ = Z − {0}
u
Operaciones internas

* Suma : ∀a, b ∈ Z, a + b ∈ Z
* Resta: ∀a, b ∈ Z, a − b ∈ Z
* Producto: ∀a, b ∈ Z, a.b ∈ Z
N⊂Z

N´meros racionales : Q = { m /m, n ∈ Z, n ̸= 0} , Q∗ = Q − {0}
u
n
Operaciones internas

* Suma : ∀p, q ∈ Q, p + q ∈ Q
* Resta: ∀p,q ∈ Q, p − q ∈ Q
* Producto: ∀p, q ∈ Q, p.q ∈ Q
* Cociente: ∀p, q ∈ Q, p/q ∈ Q , q ̸= 0
N⊂Z⊂Q

N´meros irracionales : I, Ej.: e, π,
u

√

2,

√
n con n no cuadrado perfecto, ...

* Los n´meros racionales admiten una expresi´n decimal peri´dica.
u
o
o
* Los n´meros irracionales s´lo admiten expresiones decimales no peri´dicas.
u
o
o
I∩Q=∅
N´meros reales : R , R∗ = R − {0}.En este conjunto se pueden definir la suma, el
u
producto, el cociente, la potenciaci´n, el c´lculo de ra´
o
a
ıces, de logaritmos....

3


N⊂Z⊂Q⊂R 
I∪Q=R

I⊂R
NOTA : NO ES POSIBLE DIVIDIR POR CERO.

En el conjunto de los n´meros reales no son posibles las operaciones (−3)1/2 , (−5)π ,
u
ln(−2) , x2 + 1 = 0, ...
Para resolver este problema introducimos una nueva clase de...