Logística

Funciones


Tema: Las funciones no lineales.

Siguiendo la clasificación del libro “Cálculo Diferencial e Integral” de N. Piskunov ( Editorial Montaner y Simon 1970) página 11 diremos lo siguiente:

Las principales funciones elementales son:

1. Función potencial
Es del tipo: y = xdonde  es un número Real.
Ejemplo: y = x2 ; y = x3

2. Función exponencialEs del tipo: y = ax en la que a es un número positivo distinto de uno.
Ejemplo: y = 2x ; y = 3x
(Dentro de las funciones exponenciales hay una muy importante que discutiremos más adelante y que es y = ex donde e es un número irracional al que nos referiremos posteriormente en detalle.)

3. Función logarítmica
Es del tipo: y = loga x en la cual la base a esun número positivo distinto de uno.
Los logaritmos más ampliamente usados son dos: los que utilizan como base al número 10 y con los que seguramente Ud. trabajó durante la escuela secundaria y otro sistema de logaritmos denominados logaritmos naturales o neperianos o logaritmos de base e. Ambos tipos de logaritmos vienen pre-programados en cualquier calculadora científica.

4. Funcionestrigonométricas
Son las siguientes: y = sen x y = cos x y = tg x y = ctg x y = sec x y = cosec x
Las tres primeras están pre-programadas en las calculadoras científicas y las otras tres se pueden deducir a partir de las tres primeras.

Iremos analizando cada una de las funciones mencionadas, haciendo hincapié en aquellas más importantes.

Función potencial:Función cuadrática

Dentro de las funciones potenciales sin duda una de las más empleadas en distintos tipos de aplicaciones es la función cuadrática.
La forma general de una función cuadrática es:

Con a, b y c números Reales y donde a debe ser distinto de cero.

Como este tema ha sido ampliamente desarrollado en la escuela secundaria y está muy claro en la guía, me limito a hacer algunasugerencia y proponerle actividades complementarias.
Si Usted no recuerda este tema debería resolver a conciencia y en todo detalle las Actividades de proceso propuestas en el material obligatorio. No avance hacia las aplicaciones de la función cuadrática sin antes haber repasado cabalmente lo básico de este tipo de funciones.

Actividad 1
La función demanda para el fabricante de un productoresponde a la fórmula siguiente:

Donde p es el precio en $ y q son unidades demandadas.
Se pide:
a) Determinar la función Ingresos.
b) Determinar la cantidad de unidades q para obtener Ingresos máximos y los Ingresos máximos obtenidos.
c) Representar gráficamente la función Ingresos.
Consejos para la resolución
La función Ingresos es siempre el producto del precio por la cantidad de unidades.I = p . q
Donde p es precio y q son unidades.
En la actividad 1 le dan el precio p, por lo tanto en la expresión de los ingresos en lugar de escribir “p” habría que reemplazar por la expresión o fórmula que le dan como dato del problema.
I = (200 –1/2 q).q
Al aplicar propiedad distributiva para sacar el paréntesis, le quedará una expresión de segundo grado como la siguiente:

I = 200q – ½ q2En todos los problemas de aplicación de funciones cuadráticas lo que se desea averiguar es: cantidad de unidades para máximos ingresos o máximas utilidades, cantidad de unidades a producir para minimizar costos, costos mínimos, etc.
Todos esos problemas le están pidiendo en realidad el vértice de la parábola, ya que una parábola que tiene las ramas hacia abajo tiene un punto de máximo en suvértice. Una parábola con ramas hacia arriba, en cambio, presentará un mínimo en su vértice.
Debe recordar la fórmula para la obtención del vértice de una parábola para poder resolver estos problemas.

Abscisa del vértice xv = - b/2 a

En nuestro problema, el coeficiente b es igual a 200 y el coeficiente a es igual a – ½
En nuestro problema la abscisa del vértice nos daría la cantidad de...